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2000 東京大学 後期

理科I類

易□ 並□ 難□

【1】  k を正整数とし, x を変数とする k 次多項式 Pk (x ) について次の条件

(C)  { Pk (x)- Pk (x-1 )=x k-1 Pk (0 )=0

を考える.ただし, x0= 1 と定める.このとき,次の問に答えよ.

(1)  k=1 2 に対し, Pk (x) を求めよ.

(2) すべての k 3 に対し,条件(C)をみたす Pk (x ) が存在し,しかもただ一つであることを示せ.

(3) 正整数 k に対し, k 次の多項式 Qk (x ) を次の条件が成立するように定める.

{ Qk (0)= Qk (1)= =Q k( k-1) =0 Qk (k)= 1

このとき, k 個の整数 c1 c2 ck がそれぞれただ一つ存在して

Pk (x)= j= 1k cj Qj (x)

と表されることを示せ.

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理科I類

易□ 並□ 難□

【2】 正整数 l を与える.各正整数 n に対して,関数

y=x4 sin nx 0x 2π

のグラフと x 軸で囲まれる図形を Cn とする.

(1)  Cn x 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を Vn とするとき,極限値

limn Vn

を求めよ.

(2)  Cn y 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を Wn とするとき,極限値

limn Wn

を求めよ.

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理科I類

易□ 並□ 難□

【3】 背番号 1 から 5 までを順に付けた 5 人が,何も置かれていないテーブルに向かっている.最初 5 人は各自 3 枚のコインを持っている.それを背番号順に必ず 1 枚または 2 枚テーブルの上に置いてゆく.ただし,手もとに 2 枚以上のコインがあるときに 1 枚だけコインを置く確率を p とし, p は人によらず一定とする.

 背番号 5 の人が置き終わったところ(一巡目が終わったところ)で,再び背番号 1 の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく.

(1) 一巡目が終わったとき,テーブルの上に 7 枚のコインが置かれている確率 Q を求めよ.また,その Q を最大にする p の値と,そのときの Q の値を求めよ.

(2) 一巡目を終えるとき,背番号 5 の人が,テーブル上に 7 枚目のコインを置く確率 R を求めよ.また,その R を最大にする p の値を求めよ.

(3) 二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ.

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