2000　東京工業大学　前期MathJax

【１】　$(x,y)$平面において半円$:x^2+y^2=1\text{，}y\geqq 0$の内部が鏡になっているとする．図のように，定点$(1,0)$より$x$軸となす角$\theta$で光線が発射され，$2$回半円に反射したのち，$x$軸上の点$\mathrm{P}$を通過したとする．

(1)　このような状況が起こるための$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が(1)の範囲を動くときの$\mathrm{P}$の動く範囲を求めよ．

【２】(1)　極座標表示された複素数$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$が$|z+{\displaystyle \frac{1}{2}}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすための必要十分条件を$r$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，${|1+z+\cdots +z^n|}^2$を$r\text{，}\theta \text{，}n$を用いて表せ．

(3)　複素数$z$が$|z+{\displaystyle \frac{1}{2}}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたすならば，すべての自然数$n$にたいし

$|1+z+\cdots +z^n|<1$

が成り立つことを示せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正三角形を底面とし高さが$2$の三角柱を考える．この三角柱を平面で切り，その断面が$3$辺とも三角柱の側面上にある直角三角形であるようにする．そのような直角三角形の面積がとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．関数

$\begin{array}{ll}y=e^x& \cdots \text{(ア)}\\ y=e^{nx}-1& \cdots \text{(イ)}\end{array}$

について以下の問いに答えよ．

(1)　(ア)と(イ)のグラフは第$1$象限においてただひとつの交点を持つことを示せ．

(2)　(1)で得られた交点の座標を$(a_n,b_n)$としたとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$

を求めよ．

(3)　第$1$象限内で(ア)と(イ)のグラフおよび$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とおく．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$

を求めよ．