2000　一橋大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の整数とする．複素数$w=a+bi\text{，}z=c+di$が$w^{2}z=1+18i$をみたす．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=k$である．辺$\mathrm{AB}$上に$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$をみたす点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AC}$上に$\left|\overrightarrow{\mathrm{DP}}\right|={\displaystyle \frac{1}{3}}\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$をみたす点$\mathrm{P}$が$2$つ存在するための$k$の条件を求めよ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\text{，}|\overrightarrow{\mathrm{DP}}|\text{，}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$はベクトルの長さを表し，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$はベクトルの内積を表す．

【３】　三角すい$\mathrm{ABCD}$において辺$\mathrm{CD}$は底面$\mathrm{ABC}$に垂直である．$\mathrm{AB}=3$で，辺$\mathrm{AB}$上の$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$は，$\mathrm{AE}=\mathrm{EF}=\mathrm{FB}=1$をみたし，$\angle \mathrm{DAC}=30°\text{，}\angle \mathrm{DEC}=45°\text{，}\angle \mathrm{DBC}=60°$である．

(1)　辺$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(2)　$\theta =\angle \mathrm{DFC}$とおくとき，$\cos \theta$を求めよ．

【４】　$c$を正の定数とし，$f(x)=x^3+3x^2\text{，}g(x)=x^3+3x^2+c$とする．直線$l$は点$\mathrm{P}(p,f(p))$で曲線$y=f(x)$と接し，点$\mathrm{Q}(q,g(q))$で曲線$y=g(x)$と接する．

(1)　$c$を$p$で表せ．

(2)　直線$l$と曲線$y=f(x)$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{R}$とする．$2$つの線分の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．

【５】　$1$個のサイコロを$n$回投げる．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$1$の目が少なくとも$1$回出て，かつ$2$の目も少なくとも$1$回出る確率を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$1$の目が少なくとも$2$回出て，かつ$2$の目が少なくとも$1$回出る確率を求めよ．