2000　一橋大学　後期MathJax

【１】(1)　$2\leqq a<b\leqq M$をみたすすべての整数$a\text{，}b$について不等式

$3(a^2+b^2)<2{(a+b)}^2$

が成立するような正の整数$M$のうち最大のものを求めよ．

(2)　$2\leqq a<b<c\leqq N$をみたすすべての整数$a\text{，}b\text{，}c$について不等式

$2(a^2+b^2+c^2)<{(a+b+c)}^2$

が成立するような正の整数$N$のうち最大のものを求めよ．

【２】(1)　$z^{10}-z^7-z^3+1=0$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．

(2)　$n$を$3$以上の整数とする．$z^n+{\displaystyle \frac{1}{z^n}}=z^2+{\displaystyle \frac{1}{z^2}}$をみたす異なる複素数$z$の個数を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の周上に動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．動点$\mathrm{P}$は時刻$t=0$で$\mathrm{C}$を出発し，秒速$2$で$\mathrm{C}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$の向きに進み，動点$\mathrm{Q}$は時刻$t=0$で$\mathrm{A}$を出発し，秒速$1$で$\mathrm{A}\to \mathrm{B}$の向きに進む．$0\leqq t<2$をみたす$t$に対し，出発してから$t$秒後の線分$\mathrm{PQ}$の長さを$f(t)$とおく．

(1)　$0\leqq t\leqq 1$の範囲での$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　$a$を正の定数とする．$0\leqq t<2$の範囲で，$f(t)\geqq a$がなりたっている時間がちょうど$1$秒間であるような$a$を求めよ．

【４】　$f(x)=x^3-3x$とする．

(1)　$x\leqq a$における$f(x)$の最大値$M(a)$を求めよ．

(2)　$x\leqq a$をみたすすべての$x$に対して$f(x)\leqq 6a$が成立するような$a$の範囲を求めよ．

【５】　$n$枚のカードがあり，$1$枚目のカードに$1\text{，}2$枚目のカードに$2\text{，}\cdots \text{，}n$枚目のカードに$n$が書かれている．これらの$n$枚のカードから無作為に$1$枚取り出してもとに戻すことを$3$回行う．取り出されたカードに書かれている数を取り出された順に$x\text{，}y\text{，}z$とする．

(1)　$x>y$となる確率$p$を求めよ．

(2)　$2x=y+z$となる確率$q$を求めよ．