2000　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　自然数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が$a^2+b^2+c^2=d^2$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$d$が$3$で割りきれるならば，$a\text{，}b\text{，}c$はすべて$3$で割りきれるか，$a\text{，}b\text{，}c$のどれも$3$で割りきれないかのどちらかであることを示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$のうち偶数が少なくとも$2$つあることを示せ．

【２】　数列$\left\{a_n\right\}$を

$a_0=1\text{，}{a}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^k{a}_{n-k}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n$を求めよ．

【３】　$z$を絶対値$1\text{，}$偏角$\theta$の複素数とする．ただし，$\theta$は$0°<\theta <120°$の範囲を動くものとする．複素数$1\text{，}z\text{，}{z}^3$の表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，三角形$\mathrm{PQR}$の重心を表す複素数を$w$とする．

(1)　$w$を$z$で表せ．

(2)　${|w|}^2$の最小値を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，曲線

$y=\{\begin{array}{ll}-x^2+4& \text{（}x<1\text{）}\\ x^2-4x+6& \text{（}x\geqq 1\text{）}\end{array}$

と$x$軸および$2$つの直線$x=t\text{，}x=t+1$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t\geqq -2$の範囲で，$S$を$t$の式で表せ．

(2)　(1)で求めた$S$のグラフを描け．

【１】　$xy$平面上で，不等式$|x|\leqq |y|\leqq 1$の表す領域を$D\text{，}$不等式$|x|\leqq |y-a|\leqq 1$の表す領域を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$A$と$D$の共通部分を図示せよ．

(3)　$a$が$0\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，$A$と$D$の共通部分の面積の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$x$の整式$f_n(x)\text{，}{g}_n(x)$を$f_1(x)=x\text{，}{g}_1(x)=1$と関係式

$\{\begin{array}{l}{f}_{n+1}(x)=x{f}_n(x)+(x^2-1)g_n(x)\\ g_{n+1}(x)=f_n(x)+x{g}_n(x)\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_n(x)$の定数項を$a_n$とするとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$をそれぞれ求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2000}}{a}_k$の値を求めよ．

(3)　$f_n(x)$の最も次数の高い項を求めよ．

【３】　$\theta$が$-90°<\theta <90°$の範囲を動くとき，定積分

$I={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{(x\sin \theta +\cos \theta )}^{2}dx$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$I$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$I=1$となるときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$\theta$の値に対して，定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x\sin \theta +\cos \theta |dx$

の値を求めよ．

【４】　複素数平面上で，点$1$と点$i$を結ぶ線分を$l$とする．ただし，$i$は虚数単位で，点$1$と点$i$は$l$に含まれる．点$z_1$と点$z_2$が$l$上を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$を図示せよ．

(2)　点$z_1+z_2$の動く範囲を図示せよ．

(3)　点$z_1{z}_2$の動く範囲を図示せよ．

【１】　次の定積分を計算せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^3{2}^{x^2}dx$

【１】　次の定積分を計算せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{\log x}{{(1+x)}^2}}dx$

【２】　$xy$平面上に曲線

$C:\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

がある．$C$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(2\cos \alpha ,\sin \alpha )$および$\mathrm{Q}(2\cos \beta ,\sin \beta )$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C$の法線と点$\mathrm{Q}$における$C$の法線の交点の座標を$(s,t)$とし，

$u=\underset{\beta \to \alpha }{\lim }s\text{，}v=\underset{\beta \to \alpha }{\lim }t$

とするとき，$u\text{，}v$を$\alpha$の式で表せ．

【３】　実数$t$に対して，$0\leqq x\leqq 2$における$|x^3-3t{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}|$の最大値を$f(t)$とする．このとき，$f(t)$を$t$の式で表し，そのグラフをかけ．

【４】　複素数平面上で，点$1$と点$i$を結ぶ線分を$l$とする．ただし，$i$は虚数単位で，点$1$と点$i$は$l$に含まれる．点$\alpha$と点$\beta$が$l$上を動くとき，点$\alpha \beta$の動く範囲を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$x+yi$（$x\text{，}y$は実数）が$D$に含まれるための$x\text{，}y$の条件を求めよ。

(2)　$D$を図示せよ．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x+x\sqrt{x}}}$とし，数列$\left\{a_n\right\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$0\leqq x\leqq 1$でつねに増加することを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{{(\sqrt{n}+1)}^2}}\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=n}^{2n}}{a}_k$を求めよ．