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2000-10421-0101
2000 信州大学 前期 教育学部
数学 ①
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 {an } を
an+ 1=2 ⁢an +( -1)n ( n=1 ,2 ,3 , ⋯)
で定まる数列とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) a4= 15 であるとき, a1 を求めよ.
(2) bn= a n2n とおくとき,数列 {bn } が満たす漸化式を求めよ.
(3) (1)のとき, an を n を用いて表せ.
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【2】(1) y=x3 -3⁢ x+1 の極値を求め,そのグラフの概形をかけ.
(2) 点 O を中心とする円の周上に 2 点 A ,D をとる.ここで,弦 AD は直径ではないとする.弧 AD 上に AD ⏜ を 2 等分する点 C をとり,さらに AC ⏜ を 2 等分する点 B をとる. ∠AOB= θ ( 0°<θ <45° ) とおくとき
▵OAB+ ▵OAD= ▵OAC
が成り立つような θ がただ一つあることを示し,その θ は
30°< θ<45 °
を満たすことを示せ.
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【3】 空間内に点 A (-1 ,1,2 ) を通る,方向ベクトルが (2, 1,1) の直線 l と定点 B (2, 3,2) がある.このとき,次の問に答えよ.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) AB→ とベクトル (2, 1,1) の両方に垂直な長さが 14 のベクトル v→ を求めよ.
(3) 直線 l に点 B から下ろした垂線の長さと,垂線の足 H の座標を求めよ.
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【4】 α=cos⁡ θ+i⁢ sin⁡θ ( 0° ≦θ<90 °) とおく.このとき,次の問に答えよ.
(1) 複素数平面上の原点と点 P= P⁡(α ),Q =Q⁡( α4 ) に関して, ∠POQ が 120 ° になるとき, θ を求めよ.ただし,角度は反時計まわりに計るものとする.
(2) (1)を満たす α について,
α6+ a⁢α 3+b ⁢α+ c=0
となる実数 a ,b ,c を求めよ.