2000　信州大学　前期　経済，理学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$は，$3$辺の長さが

$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{CA}=2$

である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{v}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外心（外接円の中心）を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$となる実数$s\text{，}t$を求めよ．

【２】　$3$次の整式$f(x)$を$x^2-1$で割った余りと，$x-2$で割った余りが等しいとする．また，曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線の傾きが$-2$で，${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$である．$f(x)$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x^3-63x+162$を因数分解せよ．

(2)　整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対し，複素数$u=a+b\sqrt{3}i\text{，}v=c+d\sqrt{3}i$が次の$2$つの等式

$u^3+v^3=-162\text{，}uv=21$

を満たすとする．このとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．ただし$i$は虚数単位とする．

【４】　図のように正方形を$9$等分して，中央の正方形を取り除いた図形を$S_1$とする．残された$8$個の正方形を$9$等分し，それぞれの中央の正方形を取り除いた図形を$S_2$とする．このような操作を$n$回繰り返して構成される図形を$S_n$とする．各々の図形における最小の正方形をセルと呼び，$S_n$のセルの総数を$a_n$とし，さらに$S_n$における隣接したセルが共有する辺の総数を$b_n$とする．例えば，$a_1=8\text{，}{b}_1=8$である．次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$b_2$および$b_3$を求めよ．

(3)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(4)　$b_n$を求めよ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}x\sin 3xdx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　行列${\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 1\end{array}\right)}^3$を求めよ．

【２】　サイコロを何回か振って，$1$の目が$2$回出たらクリアできるゲームがある．このゲームについて，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数である．

(1)　サイコロを$2$回振っただけでクリアできる確率$P_2$を求めよ．

(2)　サイコロを振って$3$回目にクリアできる確率$P_3$を求めよ．

(3)　サイコロを振って$n+1$回目にクリアできる確率$P_{n+1}$を求めよ．

(4)　サイコロを振った回数が$n+1$回以下でクリアできる確率を求めよ．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-a)}^2+\sin x\cos x$が，区間$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で極大値と極小値をもつための実数$a$の値の範囲を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　座標平面上の$2$点$\mathrm{F}(1,1)\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }(-1,-1)$からの距離の差が$2$である点の軌跡を$C$とする．双曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　双曲線$C$と直線$x+y=2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x^2+1}dx$を$S$を用いて表せ．またその値を求めよ．

(4)　放物線$y=x^2$の，区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$に対する弧の長さを求めよ．