2000　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$A$を整式とする．$x^6-6x^3+5x^2-4x+10$を$A$で割ると，商は$A$で余りは$5x^2-4x+1$である．整式$A$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}$のとき，${\log }_3(2x^3-2y^3)$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　放物線$y=x^2$と直線$y=3x-2$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$において，$a_1=0\text{，}\{a_{n+1}-a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は初項$1\text{，}$公比${\displaystyle \frac{4}{5}}$の等比数列であるとする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(a_1+a_2+\cdots +a_n)$を求めよ．

【３】　$\angle \mathrm{B}=2\angle \mathrm{A}$であるような三角形$\mathrm{ABC}$のなかで面積が最大となるときの$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{BC}$の長さは$1$とする．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$a$の円周上に$2$定点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{C}(0,a)$をとり，$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かって反時計回りに弧$\stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}$を$n$等分する点を順に${\mathrm{X}}_1\text{，}{\mathrm{X}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{X}}_{n-1}$とする．$x$軸上の正の部分に定点$\mathrm{B}(b,0)$をとり，$\mathrm{B}{\mathrm{X}}_k=l_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{），}\mathrm{BC}=l_n$とするとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{l_k}^2$

を求めよ．