2000　信州大学　後期　理学部数学I,A,II,BMathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，等式

$\sin A{\cos }^{2}A+\sin B{\cos }^{2}B=(\sin A+\sin B){\cos }^{2}C$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．ただし，$A\text{，}B\text{，}C$はそれぞれ$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさである．

(1)　$C$を求めよ．

(2)　等式$\sin A=(\sqrt{3}-1)\sin B$が成り立つとき，$A$と$B$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin x\sin (2k-1)x$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$a>1$のとき，次の不等式を解け．

${\log }_{\sqrt[3]{a}}|x-1|\geqq {\log }_a(x^2-4x+3)$

【３】　曲線$y=|x^2-1|$と$3$直線$y=-1\text{，}x=a\text{，}x=a+1$で囲まれた図形の面積を$F\left(a\right)$とする．$a$が$a\geqq -1$の範囲を動くとき，関数$F\left(a\right)$の極値を求め，そのグラフの概形をかけ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{M}$をとり，直線$\mathrm{BM}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{CM}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=t\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．