2000　名古屋大学　後期MathJax

【１】　自然数$x\text{，}y$に対して，それぞれを$100$で割った余りが等しいとき，$x\equiv y$と書くことにする．

(1)　自然数$m$に対して，${76}^m\equiv 76$を証明せよ．

(2)　$2^n\equiv 76$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　$2^{1001}$を$100$で割った余りを求めよ．

【２】　以下の問に解答せよ．

(1)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$が，$0\leqq x\leqq 2$の範囲で$2$直線$y=-x+1\text{，}y=x-1$に接するとき，$b\text{，}c$を$a$で表し，$a$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし，$a>0$とする．

(2)　(1)のとき，放物線と$2$直線によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】(a)　$1$枚の硬貨を$n$回投げるとき，表が$2$回続けて出ることのない場合の数を$a_n$とする．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$および$a_5$を求めよ．

(2)　$a_{n-1}\text{，}{a}_n\text{，}{a}_{n+1}\text{（}n\geqq 3\text{）}$の間に成り立つ関係式を求めよ．

【３】(b)　各面がすべて鋭角三角形である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にあり，点$\mathrm{Q}$が三角形$\mathrm{ABC}$の周上にあるとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}\leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}\leqq \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}$

を証明せよ．

【１】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,5)$を通る放物線$y=a{x}^2+bx+c$をすべて考えるとき，どの放物線も通らない点の集合を求め，それを図示せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とし，$e$を自然対数の底とする．このとき，任意の正数$x$に対して，

$\log x\leqq {\displaystyle \frac{n}{e}}{x}^{\frac{1}{n}}$

を証明せよ．

(2)　(1)を用いて，$x>0$において関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

(3)　正数$x\text{，}y$が$x^y=y^x$および$x<y$を満たすとき，$x$の範囲を求めよ．

【１】　右図に示すように，$y$軸上の点$\mathrm{A}(0,\alpha )$に中心を持つ半径$\alpha \text{（}>0\text{）}$の円$x^2+{(y-\alpha )}^2={\alpha }^2$がある．この円の$|x|\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\alpha \text{，}0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$を満たす円弧$\mathrm{BC}$に，直線$y=\alpha$上の$0<|t|\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\alpha$を満たす任意の点$\mathrm{P}(t,\alpha )$から$y$軸に平行に円弧に下ろした直線が円弧$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．つぎに，線分$\mathrm{QA}$に関して$\angle \mathrm{PQA}=\angle \mathrm{AQS}$となるように点$\mathrm{Q}$から引いた直線と$y$軸との交点を$\mathrm{S}(0,s)$とする．

　つぎの問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{S}$の$y$座標$s$を$t$の関数として導け．

(2)　前問において$X={\displaystyle \frac{t}{\alpha }}\text{，}Y={\displaystyle \frac{\alpha }{\alpha -s}}$とおく．$X$と$Y$の関係を求めよ．

　また，点$\mathrm{P}$の$x$座標$t$を$0<|t|\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\alpha$の範囲で変化させたとき，点$(X,Y)$が描く軌跡を図示せよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QS}$の長さの和を$L$とする．$L$の最小値を与える$t$の値とそのときの$L$の値を求めよ．

【２】　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，複素数$z_n$から新しい複素数$z_{n+1}$をつぎのように定義する．

$z_{n+1}=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(z_n+E\overline{z_n})$

ここで，$\overline{z_n}$は複素数$z_n$に共役な複素数を表し，実数$E\text{，}\alpha$はそれぞれ$E>1\text{，}0<\alpha <\pi$とする．

　複素数$z_0$の絶対値が$1$であるとして，つぎの問に答えよ．

(1)　$z_1$が$z_0$の実数倍になるような$z_0$が存在することを示せ．

(2)　(1)の条件を満たすどの$z_0$に対しても，$\underset{n\to \infty }{\lim }|z_n|=0$となる$E$の範囲を$\alpha$で表せ．

【３】　直線$y=x\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器がある．回転軸を鉛直にしてこの容器に水をいっぱいに満たした後，右図のように，静かに$\theta$ラジアン傾けて水を出し，そのままに保った．このときの容器内の水面の面積$S(\theta )$を求めよ．

【４】　あるトーナメント形式$\stackrel{\text{(注)}}{}$の競技大会に，$2^n$人の選手が参加し，そのうち$2^m$人は強い選手であり，残りは弱い選手であるとする．ただし，$n\text{，}m$は自然数であり，$n>m$とする．強い選手同士は$(n-m)$回戦が終わるまでは対戦することがないように，組み合わせが決められているものとする．また，強い選手が弱い選手に勝つ確率が$x(>{\displaystyle \frac{1}{2}})$であるとし，強い選手同士および弱い選手同士はいずれも勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．つぎの問に答えよ．

(1)　$n=3\text{，}m=1$として，ある特定の強い選手が優勝する確率を求めよ．

(2)　ある特定の強い選手が$1$回戦から$i$回戦まで連続して勝つ確率を$p_i$とする．

(a)　$n=3\text{，}m=2$のとき，$p_3$を$p_2$と$x$を用いて表せ．

(b)　任意の$n\text{，}m$に対して，$i=n-m$および$i=n$のそれぞれの場合について，$p_i$を$p_{i-1}$と$x$を用いて表せ．

(注)　トーナメント形式：$2^n$人を$2$人ずつの$2^{n-1}$組に分けて$1$回戦を行い，敗者を除外して，その後同様に$2$回戦，$3$回戦と対戦を進め，最後に残った$2$者で優勝を決する形式．