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2000 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 複素数 α |α |=1 を満たしている.このとき, | αm+ α-m |> 1 となる自然数 m が存在することを示せ.

2000 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 x y x y1 を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ.

(x+y- 1)log 2(x +y) (x-1) log2 x+(y -1) log2y +y

2000 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の点で x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という.

(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は 12 以上であることを示せ.

(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が 1 であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ.

2000 京都大学 後期

文系,理系共通

配点は文系30点,理系35点

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x)= x3+ ax2 +b x+c は次の条件(イ),(ロ)を満たしている.

(イ)  y=f (x) のグラフは,点 (0, 1) に関して点対称である.

(ロ)  y=f (x) は相異なる 2 つの極値をもち, 2 つの極値の差の絶対値は 4 に等しい.

 このとき,

(1)  y=f (x) のグラフは x 軸と相異なる 3 点で交わることを示せ.

(2) (1)における 3 点の x 座標を α β γ (ただし α< β<γ とする)とおくとき,

f( - β-γ 2) >2

を示せ.

2000 京都大学 後期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面において座標軸に平行な直線 x= m および y= n m= 0 1 2 n=0 1 2 で表される道路網がある.原点 (0, 0) からみて x 軸の正の方向が東, y 軸の方向が北であるものとする. A B 2 人が同時にそれぞれ (2,2 ) (0,0 ) から出発して道路を進む. A の速さと B の速さは等しく,両者は各交差点において独立に進行方向を次のように決める.

A は確率 p で南,確率 1- p で西に進む.

B は確率 q で北,確率 1- q で東に進む.

 ただし, 0p 1 0 q1 とする.このとき

(1)  2 人が出会う確率 f (p,q ) を求めよ.

(2)  a 0 q 12 の範囲で与えられたとき, f(p ,q) が最大となる p の値,およびその最大値 M (q) q を用いて表せ.

2000 京都大学 後期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  α β γ は互いに相異なる複素数とする.

(1) 複素数平面上で z-β z-α の虚数部分が正となる z の存在する範囲を図示せよ.

(2) 複素数 z

(z-α )(z -β)+ (z-β )(z -γ)+ (z-γ )(z -α)= 0

を満たしているとき, z α β γ を頂点とする三角形の内部に存在することを示せ.

 ただし α β γ は同一直線上にはないものとする.

2000 京都大学 後期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】(1)  x0 のとき,不等式 ex 1+ 12 x2 が成立することを示せ.

(2) 自然数 n に対して関数 fn (x )=n2 (x -1) e-n x x 0 における最大値を Mn とする.このとき, n=1 Mn を求めよ.

2000 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の点で x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という. a k は整数で a 2 とし,直線

L:a x+(a 2+1 )y= k

を考える.

(1) 直線 L 上の格子点を 1 つ求めよ.

(2)  k=a (a2 +1) のとき, x>0 y>0 の領域に直線 L 上の格子点は存在しないことを示せ.

(3)  k>a (a2+ 1) ならば, x>0 y>0 の領域に直線 L 上の格子点が存在することを示せ.

2000 京都大学 後期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】 直方体 ABCD- A B C D において,四角形 ABCD と四角形 A B C D は向かい合った 1 組の面であり, A A B B C C D D はこの直方体の辺である.ここで A A =1 AB=1 AD=2 とする.この直方体の内部を通る線分 A C 上に点 P をとり, P を通り A C に垂直な平面による直方体の切り口を考える.

(1)  P が線分 A C の中点であるとき,切り口は点 B D を通ることを示せ.

(2)  AP=x であるとき,切り口の面積 S (x) を求めよ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】  0 と異なる複素数 α に対して数列 {an } an =α n+α -n で定める.すべての自然数 n について | an | <2 が成立しているとする.このとき

(1)  |α |=1 が成立することを示せ.

(2)  |an |> 1 となる自然数 m が存在することを示せ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】 関数 f (x)

f(x )= 0x 1 1+t2 dt

で定める.

(1)  y=f (x) x= 1 における法線の方程式を求めよ.

(2) (1)で求めた法線と x 軸および y= f(x ) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.

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