Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2000年度一覧へ
大学別一覧へ
京都大学一覧へ
2000-10541-0201
2000 京都大学 後期
文系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 複素数 α は |α |=1 を満たしている.このとき, | αm+ α-m |> 1 となる自然数 m が存在することを示せ.
2000-10541-0202
【2】 実数 x ,y が x≧ y≧1 を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ.
(x+y- 1)⁢log 2⁡(x +y) ≧ (x-1) ⁢log2 ⁡x+(y -1)⁢ log2⁡y +y
2000-10541-0203
【3】 xy 平面上の点で x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という.
(1) 格子点を頂点とする三角形の面積は 12 以上であることを示せ.
(2) 格子点を頂点とする凸四角形の面積が 1 であるとき,この四角形は平行四辺形であることを示せ.
2000-10541-0204
文系,理系共通
配点は文系30点,理系35点
【4】 関数 f⁡ (x)= x3+ a⁢x2 +b⁢ x+c は次の条件(イ),(ロ)を満たしている.
(イ) y=f⁡ (x) のグラフは,点 (0, 1) に関して点対称である.
(ロ) y=f⁡ (x) は相異なる 2 つの極値をもち, 2 つの極値の差の絶対値は 4 に等しい.
このとき,
(1) y=f⁡ (x) のグラフは x 軸と相異なる 3 点で交わることを示せ.
(2) (1)における 3 点の x 座標を α ,β ,γ (ただし α< β<γ とする)とおくとき,
f⁡( - β-γ 2) >2
を示せ.
2000-10541-0205
【5】 xy 平面において座標軸に平行な直線 x= m および y= n( m= 0, 1 ,2 , n=0 , 1, 2) で表される道路網がある.原点 (0, 0) からみて x 軸の正の方向が東, y 軸の方向が北であるものとする. A と B の 2 人が同時にそれぞれ (2,2 ), (0,0 ) から出発して道路を進む. A の速さと B の速さは等しく,両者は各交差点において独立に進行方向を次のように決める.
A は確率 p で南,確率 1- p で西に進む.
B は確率 q で北,確率 1- q で東に進む.
ただし, 0≦p≦ 1 ,0≦ q≦1 とする.このとき
(1) 2 人が出会う確率 f⁡ (p,q ) を求めよ.
(2) a が 0≦ q≦ 12 の範囲で与えられたとき, f⁡(p ,q) が最大となる p の値,およびその最大値 M⁡ (q) を q を用いて表せ.
2000-10541-0206
理系
【1】 α ,β ,γ は互いに相異なる複素数とする.
(1) 複素数平面上で z-β z-α の虚数部分が正となる z の存在する範囲を図示せよ.
(2) 複素数 z が
(z-α )⁢(z -β)+ (z-β )⁢(z -γ)+ (z-γ )⁢(z -α)= 0
を満たしているとき, z は α ,β ,γ を頂点とする三角形の内部に存在することを示せ.
ただし α ,β ,γ は同一直線上にはないものとする.
2000-10541-0207
京大入試問題数学解答集さんの解答(PDF)へ
【2】(1) x≧0 のとき,不等式 ex ≧1+ 12 ⁢ x2 が成立することを示せ.
(2) 自然数 n に対して関数 fn ⁡(x )=n2 ⁢(x -1)⁢ e-n ⁢x の x≧ 0 における最大値を Mn とする.このとき, ∑ n=1 ∞⁡ Mn を求めよ.
2000-10541-0208
配点35点
【3】 xy 平面上の点で x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点という. a ,k は整数で a≧ 2 とし,直線
L:a⁢ x+(a 2+1 )⁢y= k
を考える.
(1) 直線 L 上の格子点を 1 つ求めよ.
(2) k=a⁢ (a2 +1) のとき, x>0 ,y>0 の領域に直線 L 上の格子点は存在しないことを示せ.
(3) k>a⁢ (a2+ 1) ならば, x>0 ,y>0 の領域に直線 L 上の格子点が存在することを示せ.
2000-10541-0209
【4】 直方体 ABCD- A′ B′ C′ D′ において,四角形 ABCD と四角形 A ′ B ′C ′ D ′ は向かい合った 1 組の面であり, A A′ , B B′ , C C′ , D D′ はこの直方体の辺である.ここで A A ′=1 , AB=1 , AD=2 とする.この直方体の内部を通る線分 A C′ 上に点 P をとり, P を通り A C′ に垂直な平面による直方体の切り口を考える.
(1) P が線分 A C ′ の中点であるとき,切り口は点 B ′ ,D を通ることを示せ.
(2) AP=x であるとき,切り口の面積 S⁡ (x) を求めよ.
2000-10541-0210
【5】 0 と異なる複素数 α に対して数列 {an } を an =α n+α -n で定める.すべての自然数 n について | an | <2 が成立しているとする.このとき
(1) |α |=1 が成立することを示せ.
(2) |an |> 1 となる自然数 m が存在することを示せ.
2000-10541-0211
【6】 関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )= ∫0x ⁡ 1 1+t2 ⁢ dt
で定める.
(1) y=f⁡ (x) の x= 1 における法線の方程式を求めよ.
(2) (1)で求めた法線と x 軸および y= f⁡(x ) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.