2000　大阪大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を中心とする円を考える．この円の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があって

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

をみたしている．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．

【２】　$p\text{，}q$を実数，$q\ne 0$とする．$p+qi$（$i=\sqrt{-1}$は虚数単位）が方程式

$x^3+px+10=0$

の解であるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

【３】　関数

$f(x)=x-2+3|x-1|$

を考える．$0\leqq x\leqq 2$の範囲で，関数

$g(x)=|{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt|+|{\displaystyle {\int }_x^2}f(t)dt|$

の最大値を求めよ．

【１】　$a>b>0$とする．円$x^2+y^2=a^2$上の点$(b,\sqrt{a^2-b^2})$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．また，円の外部の点$(b,c)$からこの円に$2$本の接線を引き，接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき，$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る直線は$\mathrm{P}$を通ることを示せ．

【２】　$xy$平面上の$16$個の点からなる集合

$\{(x,y)|x=0,1,2,3,y=0,1,2,3\}$

を考える．この集合から異なる$3$点を無作為に選ぶ試行において，次の事象の起こる確率を求めよ．

「選んだ$3$点が三角形の頂点となり，その三角形の面積は${\displaystyle \frac{9}{2}}$である」

【３】　どのような負でない$2$つの整数$m$と$n$をもちいても

$x=3m+5n$

とは表すことができない正の整数$x$をすべて求めよ．

【４】　実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$\left[x\right]$で表す．$n$を正の整数とし

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}}$

とおく．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【５】　立方体$X$と球$Y$があって，両者の体積は等しいとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，円周率は$\pi =3.14\cdots$である．

(1)　立方体$X$と球$Y$を動かして，立方体$X$のなるべく多くの頂点が球$Y$の内部に含まれるようにしたい．最大何個の頂点が含まれるようにできるか．

(2)　立方体$X$と球$Y$を動かして，立方体$X$のなるべく多くの辺が球$Y$の内部と共通の点を持つようにしたい．最大何個の辺が共通の点を持つようにできるか．