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2000-10601-0101
2000 神戸大学 前期
文科系
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 点 (1, 0) を通って傾きが -4 の直線と,関数 y= x2- 4⁢x のグラフとの共有点の座標を求めよ.
(2) 二つの関数
y=x2 -4⁢ x, y=k⁢ (x- a)
のグラフが,どんな k の値に対しても -2 ≦x≦2 の範囲で少なくとも一つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.
2000-10601-0102
【2】 三角形 ABC において CA →= a→ , CB→ =b→ とする.次の問いに答えよ.
(1) 実数 s ,t が 0≦ s+t≦ 1, s≧0 ,t≧0 の範囲を動くとき,次の各条件をみたす点 P の存在する範囲をそれぞれ図示せよ.
(a) CP→ =s⁢a →+t ⁢(a →+ b→)
(b) CP→ =(2⁢ s+t) ⁢a→ +(s- t)⁢b →
(2) (1)の各場合に,点 P の存在する範囲の面積は三角形 ABC の面積の何倍か.
2000-10601-0103
文科系・理科系共通
理科系は【1】
【3】 xy 平面全体が右図のような直線の配列で埋められているとする.
このとき,点 A ( 2 3 , 1 3 ) と P( m+ 23 , n+ 13 ) について, A から P に至るのに横切らなければならない直線の本数の最小値を m と n を用いて表せ.ただし, m ,n は負でない整数であるとする.
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理科系
【2】 四面体 ABCD を考える.
面 ABC 上の点 P と面 BCD 上の点 Q について,
AP→ =x⁢ AB→+ y⁢AC →
AQ→ =s⁢ AB→ +tAC →+u ⁢AD→
とおくとき, x:y= s:t ならば,線分 AQ と DP が交わることを示せ.
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【3】 二つの関数
f⁡(x )=x⁢ (1-x ),g ⁡(x) = 2⁢x 2+x
を用いて,数列 {an } と {bn } を
0<a0 =b0 < 12
an+ 1=f ⁡(an ), bn+ 1=g ⁡(bn ), (n =0 ,1 ,2 ,⋯ )
によって定める.次の問いに答えよ.
(1) 0<x< 12 において, f⁡(x ) は単調増加であることを示せ.また x> 0 のとき,
f⁡(x )<g⁡ (x)< x
であることを示せ.
(2) n=1 ,2 ,⋯ に対して, 0<an <bn < 12 であることを示せ.
(3) bn を求めよ.
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【4】 関数
f⁡(x )= cos⁡x 6-2 ⁢sin⁡x
を考える. 0≦x≦ 2⁢π とする.次の問いに答えよ.
(1) f⁡(x ) の導関数を求めよ.
(2) f⁡(x ) の最小値を求めよ.またその最小値を与える x に対して, cos⁡x の値を求めよ.
(3) y=f⁡ (x) のグラフの x 軸より下方にある部分と x 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ.
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【5】 a>0 を定数として,極方程式
r=a⁢ (1+cos ⁡θ)
により表される曲線 Ca を考える.
次の問いに答えよ.
(1) 極座標が ( a 2 ,0 ) の点を中心とし半径が a2 である円 S を,極方程式で表せ.
(2) 点 O と曲線 Ca 上の点 P≠ O とを結ぶ直線が円 S と交わる点を Q とするとき,線分 PQ の長さは一定であることを示せ.
(3) 点 P が曲線 Ca 上を動くとき,極座標が (2⁢ a,0) の点と P との距離の最大値を求めよ.