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2000 神戸大学 前期

文科系

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 点 (1, 0) を通って傾きが -4 の直線と,関数 y= x2- 4x のグラフとの共有点の座標を求めよ.

(2) 二つの関数

y=x2 -4 x y=k (x- a)

のグラフが,どんな k の値に対しても -2 x2 の範囲で少なくとも一つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ.

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文科系

易□ 並□ 難□

【2】 三角形 ABC において CA = a CB =b とする.次の問いに答えよ.

(1) 実数 s t 0 s+t 1 s0 t0 の範囲を動くとき,次の各条件をみたす点 P の存在する範囲をそれぞれ図示せよ.

(a)  CP =sa +t (a + b)

(b)  CP =(2 s+t) a +(s- t)b

(2) (1)の各場合に,点 P の存在する範囲の面積は三角形 ABC の面積の何倍か.

2000 神戸大学 前期

文科系・理科系共通

理科系は【1】

易□ 並□ 難□

2000年神戸大前期文科系【3】の図

【3】  xy 平面全体が右図のような直線の配列で埋められているとする.

 このとき,点 A ( 2 3 , 1 3 ) P( m+ 23 , n+ 13 ) について, A から P に至るのに横切らなければならない直線の本数の最小値を m n を用いて表せ.ただし, m n は負でない整数であるとする.



2000 神戸大学 前期

理科系

易□ 並□ 難□

2000年神戸大前期理系【2】の図

【2】 四面体 ABCD を考える.

 面 ABC 上の点 P と面 BCD 上の点 Q について,

AP =x AB+ yAC

AQ =s AB +tAC +u AD

とおくとき, x:y= s:t ならば,線分 AQ DP が交わることを示せ.



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理科系

易□ 並□ 難□

【3】 二つの関数

f(x )=x (1-x )g (x) = 2x 2+x

を用いて,数列 {an } {bn }

0<a0 =b0 < 12

an+ 1=f (an ) bn+ 1=g (bn ) n =0 1 2

によって定める.次の問いに答えよ.

(1)  0<x< 12 において, f(x ) は単調増加であることを示せ.また x> 0 のとき,

f(x )<g (x)< x

であることを示せ.

(2)  n=1 2 に対して, 0<an <bn < 12 であることを示せ.

(3)  bn を求めよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

【4】 関数

f(x )= cosx 6-2 sinx

を考える. 0x 2π とする.次の問いに答えよ.

(1)  f(x ) の導関数を求めよ.

(2)  f(x ) の最小値を求めよ.またその最小値を与える x に対して, cosx の値を求めよ.

(3)  y=f (x) のグラフの x 軸より下方にある部分と x 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

2000年神戸大前期理系【5】の図

【5】  a>0 を定数として,極方程式

r=a (1+cos θ)

により表される曲線 Ca を考える.

 次の問いに答えよ.

(1) 極座標が ( a 2 ,0 ) の点を中心とし半径が a2 である円 S を,極方程式で表せ.

(2) 点 O と曲線 Ca 上の点 P O とを結ぶ直線が円 S と交わる点を Q とするとき,線分 PQ の長さは一定であることを示せ.

(3) 点 P が曲線 Ca 上を動くとき,極座標が (2 a,0) の点と P との距離の最大値を求めよ.

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