2000　岡山大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=6$で漸化式

$a_{n+1}-a_n=2n+4\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす．また，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の第$n$項$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の第$n+1$項$b_{n+1}$から第$2n$項$b_{2n}$までの和を求めよ．

【２】　三角錐$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=3\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DB}=2$とする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．このとき，三角形$\mathrm{ADE}$に対して次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{AE}$の長さを求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ADE}$の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　自然数$n$に対して

${(\cos \theta +i+\sin \theta )}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　$z=\cos {\displaystyle \frac{45°}{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{45°}{2}}$とするとき，$z^8$の値を求めよ．また，$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7$の実部を求めよ．

【４】　$xy$平面上の曲線

$C:y=|2x-1|-x^2+2x+1$

について次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形を描け．

(2)　直線$l:y=ax+b$が曲線$C$と相異なる$2$点において接するときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　(2)の直線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　$x$を$1$でない正の実数とし

$f(x)={({\log }_{2}2x)}^2-5{\log }_{2}x+3{\log }_{x}2$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=2$の解を求めよ．

(2)　不等式$f(x)\geqq 2$をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

【２】　整数$x\text{，}y$が方程式

$x^2-3y^2=1\cdots \text{①}$

をみたすとき，$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を$\text{①}$の整数解と呼ぶ．

　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$が$\text{①}$の整数解のとき，$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$も$\text{①}$の整数解であることを示せ．

(3)　$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$は$a>0\text{，}b\geqq 0$なる$\text{①}$の整数解とし，$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$とする．このとき$c>0\text{，}d<b$となることを示せ．また，$d<0$ならば$b=0$であることを示せ．

(4)　$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$が$a>0\text{，}b>0$なる$\text{①}$の整数解のとき，ある自然数$n$に対して$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$が成り立つことを示せ．

【３】　関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x+\cos x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について次の問いに答えよ．

(1)　$t=\cos x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　$f(x)=0$をみたす$x$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$x$に対して，$f^{\prime }(x)$の値を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(x)|dx$の値を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面上で，$0$でない複素数$z\text{，}w$の表す点をそれぞれ$\mathrm{P}(z)\text{，}\mathrm{Q}(w)$とする．$z$に対して$w$を，$\mathrm{O}$を始点とする半直線$\mathrm{OP}(z)$上に$\mathrm{Q}(w)$があり，$|w|={\displaystyle \frac{2}{|z|}}$をみたすように取る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$w={\displaystyle \frac{2}{\bar{z}}}$を示せ．

(2)　$\pm 2\text{，}\pm 2i$の表す$4$点を頂点とする正方形の周上を点$\mathrm{P}(z)$が動く．このとき，$\mathrm{Q}(w)=\mathrm{P}(z)$となる$z$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}(z)$が(2)の正方形の周上を動くとき，点$\mathrm{Q}(w)$の描く図形を求めて図示せよ．