2000　東京都立大　前期MathJax

【１】　$y=x^2$のグラフと$y=a{x}^2+bx+c$のグラフを考える．

(1)　この$2$つのグラフがちょうど$2$点で交わるための$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．

(2)　$d=b^2+4(1-a)c$とおく．(1)のとき，この$2$つのグラフで囲まれた図形の面積$S$を$a$と$d$を用いて表せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$を考える．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，三角形$\mathrm{ACD}$と三角形$\mathrm{DFC}$は相似であることを証明せよ．

(2)　対角線の長さを求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{CAD}$の大きさを$\theta$とするとき，$\theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．

(1)　$2<a_{n+1}<a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$(a_{n+1}-2)<{\displaystyle \frac{{(a_n-2)}^2}{4}}$を示せ．

(3)　$a_4-2<{\displaystyle \frac{1}{80000}}$を示せ．

【４】　野球チームが$2n$チームあって，同時に$n$試合が行われる．その対戦の組合せの数を$a_n$で表す．例えば，$a_1=1\text{，}{a}_2=3$である．

(1)　$a_3$と$a_4$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求め，理由を述べよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は，ある自然数$n$に対して$A^n=0$となるとする．ただし，$O$は零行列である．

(1)　$ad-bc=0$を証明せよ．

(2)　もし$b=0$ならば，$a=d=0$となることを証明せよ．

(3)　もし$b\ne 0$ならば，$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -{\displaystyle \frac{a}{b}}& 1\end{array}\right)$として，$P^{-1}AP$を計算することによって，$a+d=0$を証明せよ．

(4)　$A^2=O$を証明せよ．

【２】　曲線$y=e^x$の$0\leqq x\leqq 3$に対応する部分を$y$軸のまわりに回転してできる容器がある．これに毎秒$a$の割合で上から注ぐ．

(1)　この容器に水がいっぱいになるのは何秒後か．

(2)　この水面の上昇速度が毎秒${\displaystyle \frac{a}{4\pi }}$になった瞬間の水深を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正六角形の頂点から相異なる$3$点を同時に選ぶこととする．

(1)　選んだ$3$点が正三角形をつくる確率を求めよ．

(2)　選んだ$3$点が直角三角形をつくる確率を求めよ．

(3)　選んだ$3$点がつくる三角形の面積の期待値を求めよ．

【１】　半径$1$の球に直円錐が外接しているとする．すなわち，半径$1$の球が直円錐の内側にあり，直円錐の側面と底面に接しているとする．ただし，半径$1$の球の中心は直円錐の頂点と直円錐の底面の中心を結ぶ線分上にあるとする．

(1)　直円錐の底面の半径を$r$とするとき，直円錐の高さ$h$を$r$を用いて表せ．

(2)　半径$1$の球に外接する直円錐の体積の最小値を求めよ．

(3)　半径$1$の球に外接する直円錐の表面積$\text{（}=\text{側面積}+\text{底面積}\text{）}$の最小値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$とするとき，

$\sin C={\displaystyle \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}$

が成り立っているとする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であることを証明せよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を辺$\mathrm{BC}$の長さ$a\text{，}$辺$\mathrm{CA}$の長さ$b$を用いて表せ．

【３】　複素数$z$が$z^4-2(\cos {\displaystyle \frac{3}{7}}\pi )z^3+2z^2-2(\cos {\displaystyle \frac{3}{7}}\pi )z+1=0$を満たすとする．

(1)　$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$を求めよ．

(2)　上式のそれぞれの解$z$に対して，自然数$n$を動かしたときの$z^n+{\displaystyle \frac{1}{z^n}}$の実部の最大値を求め，そのときの$n$の値をすべて求めよ．