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【2】 表が出る確率がとは限らない硬貨が枚()ある.番目の硬貨の表が出る確率をとし,であるものとする.「枚すべての硬貨を投げ,表が出た硬貨に印をつける」という試行を繰り返す.
(1) 番目の硬貨にまだ印がついていなければそうでなければをとる変量をとする.回目の試行の直前にである確率はであり,これがの期待値でもある.したがって,試行の直前にまだ印がついていない硬貨の枚数の期待値はとなる.
(2) 回目の試行で初めて印がつく硬貨の枚数の期待値もを用いてのように表すことができる.
(3) 比率を考える.記号でを満たすすべての添字の組に関する和を表すものとする.このとき,について
が成立し,この比率は単調減少,つまりである.この不等式の等号が箇所でも成立するのは,の間にという関係がある場合に限る.
(4) 数列の極限は常に存在し,である.