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2000 慶応義塾大学 理工学部

易□ 並□ 難□

【1】 正整数 n 1 個以上の正整数の和で表すことを考える.たとえば, n=3 ならば 3 1 +2 1 +1+1 3 通りの表し方が可能である.この例のように和に現れる正整数の順序は考慮せず数え上げるものとし, k 個以下の正整数の和による正整数 n の表し方の総数を pk (n ) とする.

(1)  p3 (7)= (ア) であり, p4 (7)- p3 (7)= (イ) である.

(2)  p2 (n ) (ウ) を超えない最大の整数である.

(3)  1<k< n とするとき,

pk (n)= pk- 1 (n)+ pk ( (エ) )

が成り立つ.

(4) 以上の結果と p3 (3 )=3 であることを用いて p3 (6 n) n の式で表せば, (オ) となる.

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【2】 表が出る確率が 12 とは限らない硬貨が N 枚( N 2 )ある. i 番目の硬貨の表が出る確率を pi とし, 0<p 1p 2 pN <1 であるものとする.「 N 枚すべての硬貨を投げ,表が出た硬貨に印をつける」という試行を繰り返す.

(1)  i 番目の硬貨にまだ印がついていなければ 1 そうでなければ 0 をとる変量を Xi とする. k 回目の試行の直前に X i=1 である確率は (カ) であり,これが Xi の期待値でもある.したがって,試行の直前にまだ印がついていない硬貨の枚数の期待値は n k= i =1N (カ) となる.

(2)  k 回目の試行で初めて印がつく硬貨の枚数の期待値も pi i=1 2 N を用いて m k= i =1N (キ) のように表すことができる.

(3) 比率 rk = mkn k を考える.記号 i >j N i>j 1 を満たすすべての添字の組 i j に関する和を表すものとする.このとき, k2 について

rk- 1- rk= 1 nk nk -1 i >j (1 -pi )k -2 (1 -pj )k -2 (ク) 0

が成立し,この比率は単調減少,つまり r1 r2 rk である.この不等式の等号が 1 箇所でも成立するのは, p1 p2 pN の間に (ケ) という関係がある場合に限る.

(4) 数列 {rk } の極限は常に存在し, limk rk= (コ) である.

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【3】 関数

f(x )= px 2+q x+r ax2 +bx +c

はすべての実数 x に対して定義された奇関数であり, limx f (x) =0 である.この関数の x> 0 の範囲での増減表は次のようになっている.

x 1 (シ)
f (x ) + 0 - - -
f (x ) - - - 0 +
f( x)2000年慶応義塾大理工学部【3】の図 (ス) 3

(1) 以上の条件より係数 p q r a b c が定まり,この関数は f ( x) = (サ) であることがわかる.

(2) 増減表の(シ)と(ス)にあてはまる数値を解答欄に記入しなさい.

(3)  s>0 に対して,直線 x= 0 2 つの曲線 y= f(x ) y=f (x+s ) で囲まれて x 0 を満たす部分の面積は 2 log ( (セ) ) 24 ( s2+1 ) である.また,この面積の s に関する最大値は (ソ) である.

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【4】  xyz 座標空間内に 2 O( 0,0, 0) P( 5,0, 0) がある.

(1)  2 A B が条件 OA= 4 AB=3 を満たして動くとき,点 B の動きうる領域を式で示しなさい.

(2)  3 A B C が条件 OA= 4 AB=3 BC= 11 CP= 11 を満たして動くとき,点 B の動きうる領域の体積を求めなさい.

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【5】 実数 a b c に対し g (x)= ax2 +b x+c を考え, u(x )

u(x )=g (x) g( 1 x)

で定義する.

(1)  u(x ) y= x+ 1x の整式 v (y) として表せることを示しなさい.

(2) 上で求めた v (y) -2 y2 の範囲のすべての y に対して v (y) 0 であることを示しなさい.

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