2000　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．

(1)　$S$を求めると，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}}\boxed{\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}}}$である．

(2)　$0<a<1$を満たす実数$a$に対して，$4$点$(-a,0)\text{，}(-a,f(-a))\text{，}(a,f(a))\text{，}(a,0)$を結んでできる長方形の面積を$S_a$とする．$|S-S_a|$が最小になる$a$と，このときの$S_a$の値を求めると，

$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(5)}}\boxed{\text{(6)}}}}{\boxed{\text{(7)}}\boxed{\text{(8)}}}}\text{，}{S}_a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}}\boxed{\text{(10)}}\sqrt{\boxed{\text{(11)}}\boxed{\text{(12)}}}}{\boxed{\text{(13)}}\boxed{\text{(14)}}}}$

である．

【２】　ベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$について，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を考える．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}$が条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとき，$a_2$を$a_3$を用いて表すと，

$a_2=\boxed{\text{(15)}}\boxed{\text{(16)}}{a}_3+\boxed{\text{(17)}}\boxed{\text{(18)}}$

である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}$が条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$の値を求めると，

$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}}\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}\boxed{\text{(22)}}}}\text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}\boxed{\text{(26)}}}}\text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}}$

である．ただし$a_1>0$とする．

【３】　ある銀行の口座$\mathrm{A}$に$\mathrm{3,276,800}$（$=2^{17}\times 5^2$）円を，別の銀行の口座$\mathrm{B}$に$\mathrm{1,310,720}$（$=2^{18}\times 5$）円を預金する．口座$\mathrm{A}$の年利は$20\%\text{，}$口座$\mathrm{B}$の年利は$25\%$とする．$1$年後両口座の預金に利息がついた後で，口座$\mathrm{A}$の預金全額の${\displaystyle \frac{1}{16}}$を口座$\mathrm{B}$に移す．この操作を毎年繰り返す．$n$年後に預金を移した後の口座$\mathrm{A}$の預金額を$a_n$円，口座$\mathrm{B}$の預金額を$b_n$円，$c_n={\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$とする．このとき，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(31)}}\boxed{\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}}\boxed{\text{(34)}}}}{a}_n+\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}$

$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}}{\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}}}}{c}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}}}$

である．$c_n$を求めると，

$c_n={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}\boxed{\text{(48)}}}}\right)}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}\boxed{\text{(50)}}}{\boxed{\text{(51)}}\boxed{\text{(52)}}}}$

である．

　操作後の口座$\mathrm{B}$の預金額が口座$\mathrm{A}$の預金額をはじめて超えるのは$\boxed{\text{(53)}}\boxed{\text{(54)}}$年後である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}2=0.4771$とする．

【４】　$2000$円を持った人がくじを最大で$2$回引き，賞金を受け取った後の残金の期待値を最大にしたいと考えた．くじは$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$種類あり，$1$回には最大$1$本のくじを引くことができる．くじ$1$本の値段は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は$1000$円，$\mathrm{C}$は$500$円である．

　くじ$\mathrm{A}$は当たりかはずれのいずれかで，賞金は当たりのときは$1200$円で，はずれたときは$0$円とする．また当たる確率は$0.6$で，くじ$\mathrm{A}$で当りを引くとそれ以上くじは引けないものとする．

　くじ$\mathrm{B}$は$1$等，$2$等のいずれかに当たり，その賞金はそれぞれ$2000$円，$950$円である．$1$等が当たる確率は$0.4\text{，}2$等が当たる確率は$0.6$で，くじ$\mathrm{B}$を引くとそれ以上くじは引けない．

　くじ$\mathrm{C}$は$1$等，$2$等，$3$等のいずれかに当たり，その賞金はそれぞれ$1000$円，$1000$円，$500$円である．当たる確率は$1$等が$0.2\text{，}2$等が$0.4\text{，}3$等が$0.4$とする．$2$等または$3$等を引いたときはそれ以上くじは引けない．

(1)　$1$回だけくじを引くときの残金の期待値を求めると，$\mathrm{A}$を引くときは$\boxed{\text{ア}}$円，$\mathrm{B}$を引くときは$\boxed{\text{イ}}$円，$\mathrm{C}$を引くときは$\boxed{\text{ウ}}$円である．

(2)　最大で$2$回引くときの残金の期待値の最大値は$\boxed{\text{エ}}$円である．そのときのくじの引き方は$\boxed{\text{オ}}$である．

　くじの引き方は以下の選択肢から選び，番号を解答欄に記入しなさい．

01　$1$度もくじを引かない．

02　$1$回目にくじ$\mathrm{A}$を引き，$2$回目のくじを引くことができるときは$\mathrm{A}$を引く．

03　$1$回目にくじ$\mathrm{A}$を引き，$2$回目にくじを引くことができるときは$\mathrm{B}$を引く．

04　$1$回目にくじ$\mathrm{A}$を引き，$2$回目にくじを引くことができるときは$\mathrm{C}$を引く．

05　$1$回目にくじ$\mathrm{A}$を引き，$2$回目はくじを引かない．

06　$1$回目にくじ$\mathrm{B}$を引く．

07　$1$回目にくじ$\mathrm{C}$を引き，$2$回目のくじを引くことができるときは$\mathrm{A}$を引く．

08　$1$回目にくじ$\mathrm{C}$を引き，$2$回目のくじを引くことができるときは$\mathrm{B}$を引く．

09　$1$回目にくじ$\mathrm{C}$を引き，$2$回目のくじを引くことができるときは$\mathrm{C}$を引く．

10　$1$回目にくじ$\mathrm{C}$を引き，$2$回目はくじを引かない．

【５】　次の$3$つの関数を考える．

$f(x)=-2x+2$

$g(x)=1$（定数関数）

$h(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}x$

　$a$を任意の実数とき，$3$つの数$f(a)\text{，}g(a)\text{，}h(a)$のうち最も大きい数を$m_a$とする．$m_a$を求めなさい．

　つぎに，実数$a$を動かしたとき，$m_a$の値が最小となる$a$をすべて求めなさい．

【６】　${\log }_{10}=7=0.8451$とする．

(1)　$7^6$の桁数を求めなさい．

(2)　$7^{7^7}$の桁数が${10}^n$より大きく${10}^{n+1}$より小さくなるような整数$n$を求めなさい．

【７】　$a\text{，}b$を実数とする．直線$ax-y-1=0$と直線$-x+by-2=0$は点$(x_0,y_0)$で交わり，$x_0>0\text{，}{y}_0>0$であったとする．

(1)　$a>0$であることを証明しなさい．

(2)　$k\text{，}l$を任意の正の実数とする．このとき，直線$ax-y-k=0$と直線$-x+by-l=0$の交点の座標を$(x_1,y_1)$とすると，$x_1>0\text{，}{y}_1>0$であることを証明しなさい．