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2000-13338-0301
2000 慶応義塾大学 商学部
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b ,c は正の数とする.次の不等式
a ⁢b+b ⁢c+c ⁢aa +b+c ≧ 3 ⁢a⁢b ⁢ca ⁢b+b ⁢c+c ⁢a
が成り立つことを証明せよ.また,等号が成り立つのは a ,b ,c がどのような関係をみたすときか述べよ.
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【2】
(1) 次の式を完成せよ.
∑ k=1 n(k ⋅2 k+2 )=( n- ア )× 2n+ イ + ウ
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(2) cos⁡3⁢ θ+i ⁢sin⁡ 3⁢θ を cos⁡ θ と sin⁡ θ を用いて表せ.
cos⁡3⁢ θ+i ⁢sin⁡ 3⁢θ = エ ⁢cos 3⁡θ - オ ⁢cos ⁡θ⁢ sin2⁡ θ
+i⁢( カ ⁢ cos2⁡ θsin⁡ θ- キ ⁢ sin 3⁡θ )
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(3) x の整式 x3 +a⁢ x2+ 2⁢x+ b-3 をある整式 P⁡ (x) で割ると,商が x- 1, 余りが x- 2 である.その P⁡ (x) を x- 2 で割ると,余りは -a⁢ b である.このとき, a ,b のとりうる値を求めよ.
a=- ク ,b= ケ または a= コ ,b =- サ
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【3】 f⁡(x ) は 3 次式, g⁡ (x) は 2 次式とする. xy 平面上の 2 つの曲線 C 1:y =f⁡ (x) と C 2:y= g⁡( x) は点 P (1, 0) で交わり,点 P において C1 の接線と C2 の接線は互いに直交している.また, f⁡( x) ,g ⁡(x ) は次の関係をみたすものとする.
(ⅰ) f⁡(x )+ ∫1x ⁡g ′⁡( t)⁢d t=-x 3+a⁢ x2- b⁢x
(ⅱ) f′⁡ (x)⁢ g′ ⁡(x) =3⁢a x3- 15⁢x 2+5 ⁢a⁢x -2⁢b
このとき,
(1) a ,b を求めると a= ア ,b = イ である.
(2) f⁡(x ),g ⁡(x ) を求めよ.
f⁡ (x)= - ウ ⁢ x3+ エ ⁢x 2- オ ⁢x+ カ
g⁡(x )=- キ ⁢ x2+ ク ⁢x + ケ
(3) 曲線 C1 と曲線 C2 で囲まれた図形の面積を求めると コ サ である.
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【4】 α は 0< α<90 をみたす整数とする.原点 O を中心とする半径 1 の単位円周上に点 P 0( x0, y0 ) をとり,以下, ∠O PkP k+1 が α 度となるように円周上の点列 { Pk ( xk, yk ) } ( k=0 ,1 , ⋯) を右の図のように定める.このとき, Pn= P0 となる最小の正整数 n を n⁡ (α ) で表わす.ただし,角度の符号は時計の針の回転と逆向きを正とする.次の問いに答えよ.
(1) n⁡(α )= 18 とする.このとき, α の取りうる値を小さい順に述べよ.
ア , イ , ウ
(2) n⁡(α ) を素数とする.このとき, n⁡(α ) が取りうる値を小さい順に述べよ.
エ , オ
(3) α=15 とする.このとき, n⁡(15 ) は カ であり, Pk (x k,y k) を複素数平面上で考えると
xk+ 1+i ⁢yk +1= (- キ ク -i⁢ ケ コ ) ⁢(x k+i⁢ yk)
である.特に,点 P0 の座標が (x0 ,y0 )=( - 22 ,- 2 2 ) のとき, P 128 の座標は,
(x128 ,y128 )=( サ シ - ス セ , ソ タ + チ ツ )
となる.