2000　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　区間$0\leqq x\leqq 2$で関数$f_n(x)$が次のように定義されている．

$f_0(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\\ -1& \text{（}1<x\leqq 2\text{）}\end{array}$

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{f}_{n-1}(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

　このとき

(1)　$f_3(1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{f}_3(2)=\boxed{\text{ウ}}$

(2)　${\displaystyle {\int }_1^2}{f}_2(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}{f}_0(x)f_1(x)dx=\boxed{\text{カ}}$

【２】　座標平面の第$1$象限に凸四角形$\mathrm{OABC}$が次のように与えられている．

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(5,0)\text{，}\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=3$

いま$\mathrm{OA}=a$とすると，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は

$2\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}{a}^2$

を満たす．したがって，$a=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$のとき，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AC}$の交点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{OC}$を直径とする円周上にあり，$\mathrm{A}$がこの条件のもとで動くとき点$\mathrm{P}$の軌跡は円弧をなす．

(1)　点$\mathrm{P}$がその円弧の右端になると，四角形$\mathrm{OABC}$は三角形$\mathrm{BOC}$となる．このとき$\angle \mathrm{BOC}$の余弦は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．また点$\mathrm{P}$が円弧の左端になると，四角形$\mathrm{OABC}$は三角形$\mathrm{AOC}$となる．このとき$\angle \mathrm{ACO}$の余弦は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$の軌跡のつくる円弧の中心角の余弦は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$となる．

【３-１】　銀行のATM（自動金銭出納機械）の暗証番号は$0$から$9$までの数字の$4$桁の任意の番号である．しかし，同じ数字が$2$つ以上続く$1111\text{，}1223\text{，}4388$などは暗証番号としてふさわしくないとする．このとき暗証番号としてつかえる番号は全部で$\boxed{\text{イ}}$個ある．

　さらに同じ番号が$2$回以上出てくる$5752$などもふさわしくなく，続き番号のある$2561$や$3987$などもふさわしくないとする．このとき，暗証番号としてつかえる番号は$\boxed{\text{ウ}}$個である．ただし，$09$や$90$も続き番号として考える．

【３-２】　以下の空欄に適切な解答を，最後の選択肢から選び，その番号を解答欄に記入しなさい．

　一辺の長さ$1$の正方形の面積は$1$で，その中の半径$1$の$4$分円の面積は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．したがって正方形の上から，針の先端が正方形に入るように針をランダムに落としたとき，針の先端が$4$分円に入る確率は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となる．この試行を以下のようにコンピューターでシミュレーションを行い，円周率$\pi$の近似値を求める．

　$0$以上$1$未満の値をとる$2$つの乱数$x\text{，}y$を考え，このような$2$組を$1000$回求める．それが$x^2+y^2\leqq 1$となる割合を求めれば，その値の$\boxed{\text{エ}}$倍が$\pi$を近似している．

100 REM $\pi$の近似値を求める．

110 N = $\boxed{\text{オ}}$

120 M = 1000

130 FOR I = 1 TO $\boxed{\text{カ}}$

140 X = RND: $\boxed{\text{キ}}$ = RND

150 PRINT X , Y

160 IF X * X + Y * Y $\boxed{\text{ク}}$ 1 THEN N = $\boxed{\text{ケ}}$ + 1

170 $\boxed{\text{コ}}$

180 PRINT " 円周率は " , (N / $\boxed{\text{サ}}$ ) * $\boxed{\text{シ}}$

190 END

選択肢

• (11)　0
• (12)　1
• (13)　3
• (14)　4
• (15)　5
• (16)　X
• (17)　Y
• (18)　M
• (19)　N
• (20)　PI
• (21)　GOTO
• (22)　RND
• (23)　NEXT
• (24)　PRINT
• (25)　TO
• (26)　=<
• (27)　>=
• (28)　<
• (29)　>
• (30)　=

【４】　$15$個のふたのついた箱が横一列に並べてあり，その中に左から順に

$1,5,9,13,20,35,37,41,53,60,61,69,72,79,85$

が書かれた紙が入っている．ただし，箱のふたは閉まっており，開けないと数は確認できない．あなたは数が小さい順に並んでいることは知らされているが，どのような数の紙が入っているかはいっさい知らされていないとする．

(1)　左から順に箱のふたを開け，数を調べていくことにする．この方法では$60$を見つけるのに$\boxed{\text{ア}}$回ふたを開けなければならない．上の数列にない数に対しては，その数がどの箱にもないことを確認するには$\boxed{\text{イ}}$回ふたを開けなければならない．上の数列のある数を捜し出すためにふたを開ける回数の期待値は$\boxed{\text{ウ}}$回である．

(2)　次に上の数列が小さい順にならんでいることを使い，捜し方を改良する．最初に列の真ん中の$8$番目の箱のふたを開け，捜している数と比べる．もし当たっていればそれで良い．もし捜している数が開けた箱の中の数より小さい場合には，$1$番目から$7$番目までの箱の中から捜し，大きい場合には，$9$番目から$15$番目までの箱の中から捜せば良いことがわかる．このようにしぼり込んだ箱の列からまた真ん中の箱のふたを開け，以下同じようにして数を捜していくことにする．この方法では$60$を見つけるのに$\boxed{\text{エ}}$回ふたを開けなければならない．上の数列にない数に対しては，その数がどの箱にもないことを確認するには$\boxed{\text{オ}}$回ふたを開けなければならない．上の数列のある数を捜し出すためにふたをあける回数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$回である．

【５】　座標平面上で長さ$1$の$6$本の線分をつなぎ，折れ線をつくる．ひとつの線分は固定され，端点は原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}=(1,0)$である．$2$本目の線分$\mathrm{AB}$は$\mathrm{A}$で接続され，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$のつくる角は$-60°$から$60°$までの範囲にある．$3$本目の線分$\mathrm{BC}$は$\mathrm{B}$で接続され，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のつくる角は$-60°$から$60°$までの範囲にある．ほかの線分$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{EF}$も同様に接続される．したがって折れ線は右の図のようにいろいろな形をとることができる．

(1)　あらゆる折れ線のなかで$\mathrm{F}$が原点となる折れ線は$\boxed{\text{ア}}$本ある．

(2)　あらゆる折れ線のなかで$\mathrm{F}$の$y$座標の最大値は

$\boxed{\text{イ}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(3)　あらゆる折れ線のつくる領域の面積，すなわち，あらゆる折れ線上のあらゆる点からなる領域の面積は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}+\boxed{\text{キ}}\pi$

である．