2000　上智大学　地球法，外国語MathJax

【１】

(1)　$A(x)$は定数項が$1$である$x$の$3$次式で，ある定数$c$が存在して，すべての$x$に対して

$A(2x+1)=cA(x)$

が成立している．このとき$c=\boxed{\text{ア}}$であり

$A(x)=\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}x+1$

である．

【１】

(2)　正の数$a$に対し，関数$f(x)=9x^3+a{(1-x)}^3$を考える．

$f^{\prime }(0)=\boxed{\text{オ}}a\text{，}{f}^{\prime }(1)=\boxed{\text{カ}}$

である．$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値を$m\text{，}$この最小値を与える点を$x_0\text{（}0\leqq x_0\leqq 1\text{）}$とすると

$x_0={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\boxed{\text{キ}}+\sqrt{a}}}\text{，}m={\displaystyle \frac{9a}{\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{a}+a}}$

である．したがって，$m\geqq 1$であるための条件は

$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

【２】　$xy$平面上の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ$x$軸， $y$軸の正の部分にあり，頂点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{AB}$に関し原点$\mathrm{O}$と反対側にある．さらに$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$が$x$軸の正の部分を動くとき，$\angle \mathrm{BAO}=\theta$とすると，$\mathrm{C}$の$x$座標は

$\boxed{\text{シ}}\cos \theta -\sqrt{\boxed{\text{ス}}}\cos (\theta +\boxed{\text{セ}}°)\text{，}$

$y$座標は

$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}\sin (\theta +\boxed{\text{セ}}°)$

である．ただし$0\leqq \boxed{\text{セ}}\leqq 90$である．また

${\mathrm{OC}}^2=\boxed{\text{タ}}\cos 2\theta +\sqrt{\boxed{\text{チ}}}\sin 2\theta +\boxed{\text{ツ}}$

$\phantom{{\mathrm{OC}}^2}=\boxed{\text{テ}}\cos (2\theta +\alpha )+\boxed{\text{ツ}}$

となる．ただし$\boxed{\text{テ}}>0$で

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$

である．

　したがって$\theta =\boxed{\text{ノ}}°$のとき${\mathrm{OC}}^2$は最大値$\boxed{\text{ハ}}$をとる．

【３】　$X$を$3$の倍数である正の整数全体の集合とする．

(1)　$X$の要素を小さい順に並べるとき，$15$番目の数は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

(2)　$3$の倍数で$9$の倍数でない正の整数全体の集合を$\mathrm{Y}$とする．$\mathrm{Y}$の要素を小さい順に並べるとき，$22$番目の数は$\boxed{\text{フ}}$である．また$\mathrm{Y}$の要素の$1$番目から$22$番目までの数の和を$S$とおくと，

${\displaystyle \frac{S}{9}}=\boxed{\text{ヘ}}$

である．

(3)　$36$を$\mathrm{Y}$の要素の積として表すとき，

$36=3\times 12=6\times 6$

と$2$通りの表し方がある．$\mathrm{Y}$の要素の積としてちょうど$3$通りの表し方をもつ$\mathrm{X}$の要素の中で最小のものは$\boxed{\text{ホ}}$である．また$1890$を$\mathrm{Y}$の要素の積として表す表し方はちょうど$\boxed{\text{マ}}$通りある．