2000　上智大学　文(心理)学部MathJax

【１】

(1)　$0°\leqq \theta \leqq 90°$の範囲で$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$のとる最大値は$\boxed{\text{ア}}$であり，最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　$s\text{，}t$は$1$でない正の実数で$st\ne 1$とする．${\log }_{st}{3}^{\frac{3}{2}}={\log }_s\sqrt{3}$ならば，$t=s^k$とすると$k=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(3)　$x^2+6y^2=360$をみたす正の整数は，$x=\boxed{\text{エ}}\text{，}y=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　実数$x\text{，}y$は次の式をみたしている．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 1\\ x+y\leqq 0\end{array}$

(1)　$x$のとる値の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(2)　$x-2\sqrt{2}y$のとる値の最大値は$\boxed{\text{コ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{サ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．

【３】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とおく．関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,1)$に関して対称であり，この関数は$x=1$のとき極大値をとる．このとき$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b=\boxed{\text{タ}}\text{，}c=\boxed{\text{チ}}$である．また点$(2,1)$におけるグラフの接線の傾きは$\boxed{\text{ツ}}$である．

図１

図２

【４】　$1$から$4$までの数字が書かれた$4$枚のカードと，正方形$\mathrm{ABCD}$がある．この正方形を図１のように$4$等分して$1$から$4$までの番号をふり，カードを$1$枚引いてその番号の正方形を選び，カードをもとに戻す．次に，この操作で選ばれた小正方形を図１と同様に$4$等分して同様に番号をふり，カードを$1$枚引いてその番号の正方形を選びカードをもとに戻す．この結果選ばれた$1$辺の長さがもとの${\displaystyle \frac{1}{4}}$の正方形を$P$とする．例えばカードを順に$1\text{，}3$と引いたとすると，図２の正方形$X$を選んだことになる．

　再度，正方形$\mathrm{ABCD}$から出発して同様の試行を行い，選ばれた正方形を$Q$とする．$Q$は$P$と同じ大きさである．

(1)　$P$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のいずれかを頂点にもつ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．$P$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$いずれかを頂点にもち，かつ，$Q$が$P$と隣り合っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．ただし，$2$つの正方形が隣り合っているとは，それらが一辺のみを共有していることとする．

(2)　$P$の一辺が正方形$\mathrm{ABCD}$の辺上にあり，かつ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がいずれも$P$の頂点でない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．$P$がこの条件をみたし，かつ，$Q$が$P$と隣り合っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(3)　$Q$が$P$と隣り合っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}$である．