2000　上智大学　経済(経営)学部MathJax

【１】(1)　$k$を自然数とし，数列$a_n$を次で定める．

$a_n=(1+{\displaystyle \frac{k}{1}})(1+{\displaystyle \frac{k}{2}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{k}{n}})$

(ⅰ)　$k=1$のとき，$a_n=\boxed{\text{ア}}n+\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　$k=2$のとき，次が成立する．

${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}n}{n+\boxed{\text{エ}}}}$

(2)　$b_n=1+{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+1}}{n}}$とし，$c_n=b_1{b}_2\cdots b_n$とする．

(ⅰ)　$c_8=\boxed{\text{オ}}\text{，}{c}_{11}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(ⅱ)　$c_n\geqq {\displaystyle \frac{61}{57}}$となる$n$は，全部で$\boxed{\text{ク}}$個ある．

【２】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x|+|y|\leqq a\\ y\geqq x^2-a^2\end{array}$

があらわす座標平面上の領域を$D$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)　直線$l:y=x-a$と放物線$C:y=x^2-a^2$の交点の$x$座標は，$\boxed{\text{ケ}}a$または$\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}a$である．また，$l$と$C$のすべての交点が領域$D$に含まれるための必要十分条件は

$a_0\leqq a\leqq 1$

である．ここで，

$a_0={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

(2)　領域$D$の面積を$S$とする．

(ⅰ)　$a\geqq 1$のとき

$S=\boxed{\text{セ}}{a}^2$

である．

<(ⅱ)　$a_0\leqq a\leqq 1$のとき

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{a}^3+\boxed{\text{チ}}{a}^2+\boxed{\text{ツ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

(ⅲ)　$0<a\leqq a_0$のとき

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}{a}^3+\boxed{\text{ヌ}}{a}^2$

である．

【３】　$1$から$4$までの数字が書かれた$4$枚のカードと，正方形$\mathrm{ABCD}$がある．図１のように正方形を$4$等分して$1$から$4$までの番号をふり，カードを$1$枚引いてその番号の正方形を選び，カードをもとに戻す．これを$1$回目の試行とする．$2$回目には，$1$回目に選んだ正方形に対して同様の試行を行い，以下これを繰り返す．例えば，$3$回の試行でカードを$1\text{，}3\text{，}2$と引いたとすると，図２の正方形■を選んでいる．

　$n$回の試行の結果選んだ正方形を$P_n$とする．再度，正方形$\mathrm{ABCD}$から出発して$n$回の試行を行い，選んだ正方形を$Q_n$とする．

(1)　$P_n$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$いずれかを頂点にもつ確率は${\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\right)}^{n-1}$である．$P_n$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$いずれかを頂点にもち，かつ，$Q_n$が$P_n$と隣り合っている確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\right)}^{n-1}$

である．ただし，$2$つの正方形が隣り合っているとは，それらが一辺のみを共有していることとする．

(2)　$P_n$の一辺が正方形$\mathrm{ABCD}$の辺上にあり，かつ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がいずれも$P_n$の頂点でない確率は

$\boxed{\text{ホ}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}+\boxed{\text{マ}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}$

である．$P_n$がこの条件をみたし，かつ，$Q_n$が$P_n$と隣り合っている確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{n-1}$

である．

(3)　$P_2$と$Q_2$が隣り合っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．一般に，$P_n$と$Q_n$が隣り合っている確率は

$\boxed{\text{ヨ}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}{\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)}^{n-1}$

である．