2000　上智大学　法(法律)学部MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は，$x=3$のとき最大値${\displaystyle \frac{3}{4}}$をとり，また，

${\displaystyle {\int }_2^3}f(x)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}$

をみたしている．

(1)　このとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　$m$を$1$以上の整数とする．

$f(n)\geqq {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{180°}{m}}\right)$

をみたす整数$n$の個数を$A_m$とする．$A_m\ne 0$となる$1$以上の整数$m$は全部で$\boxed{\text{キ}}$個あり，それらの中で最小のものは$m=\boxed{\text{ク}}$であり，そのときの$A_m$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，最大のものは$m=\boxed{\text{コ}}$であり，そのときの$A_m$の値は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　以下の$\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}\text{，}\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$には，下の選択肢より正しいものを$1$つ選び，その番号を答えよ．

　実数$x\text{，}y$に関する次の条件$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を考える．

• $\mathrm{A}:|x|+|y|\leqq 2$
• $\mathrm{B}:x^2+y^2\leqq 2$
• $\mathrm{C}:$すべての正の整数$n$に対して${|x|}^n+{|y|}^n\leqq 2$
• $\mathrm{D}:|x|\leqq 1$かつ$|y|\leqq 1$
• $\mathrm{E}:$「$x^2\leqq 2$かつ$y=0$」または「$x=0$かつ$y^2\leqq 2$」
• $\mathrm{F}:|x+y|\leqq 2$かつ$|x-y|\leqq 2$

(1)　$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$の$\boxed{\text{シ}}$．

(2)　$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}$の$\boxed{\text{ス}}$．

(3)　$\mathrm{D}$は$\mathrm{C}$の$\boxed{\text{セ}}$．

(4)　$\mathrm{E}$は$\mathrm{D}$の$\boxed{\text{ソ}}$．

(5)　$\mathrm{A}$は$\mathrm{F}$の$\boxed{\text{タ}}$．

選択肢

• 1.　必要十分条件である
• 2.　必要条件であるが十分条件ではない
• 3.　十分条件であるが必要条件ではない
• 4.　必要条件でも十分条件でもない

【３】　平面内に$2$点$\mathrm{P}(2,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,4)$をとり，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る円を考える．この円の中心$\mathrm{C}$の$x$座標を$m$とする．

(1)　このとき，$\mathrm{C}$の座標は$(m,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}m+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})$である．

(2)　$m=\boxed{\text{ナ}}$のとき円の面積は最小となり，その面積は$\boxed{\text{ニ}}\pi$である．

(3)　$m=\boxed{\text{ヌ}}$のとき円は$y$軸に接し，その円の方程式は

${(x-\boxed{\text{ネ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ノ}})}^2=\boxed{\text{ハ}}$

である．

【４】(1)　$n$を$1$以上の整数とする．$k_1\text{，}{k}_2\text{，}\cdots \text{，}{k}_d$はいくつかの整数を並べた列であって，

$k_1\geqq k_2\geqq \cdots \geqq k_d\geqq 1$

$k_1+k_2+\cdots k_d=n$

をみたすものである．

　このような列は，$n=3$のとき

$3;2,1;1,1,1$

の$3$通りあり，$n=4$のとき$\boxed{\text{ヒ}}$通り，$n=6$のとき$\boxed{\text{フ}}$通りある．

(2)　大きさの等しい$6$個の正方形を，右の図のように並べた$2$つの図形を，それぞれ$D_1\text{，}{D}_2$とする．

　$D_1$または$D_2$の各正方形に，$1$から$6$までの数字を$1$つずつ，またちょうど$1$回ずつ書き込むことを考える．

　そのとき，横に隣接する数字が左から右へつねに増加していれば横増加，縦に隣接している数字が下から上へつねに増加していれば縦増加とよぶ．

　図形$D_1$への数字の書きこみ方で横増加であるものは$\boxed{\text{ヘ}}$通りあり，横増加かつ縦増加であるものは$\boxed{\text{ホ}}$通りある．

　図形$D_2$への数字の書きこみ方で横増加かつ縦増加であるものは$\boxed{\text{マ}}$通りある．