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2000 上智大学 経済(経済)学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 複素平面上の 3 -1+ i -i 2+5 i をそれぞれ, P Q R とする.三角形 PQR の辺 PQ の長さは QR の長さは PQR の大きさは ° である.また,三角形 PQR の面積は である.

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易□ 並□ 難□

【1】

(2) 複素数 z z4 +z3 +z2 +z+1 =0 をみたしているとする.

(ⅰ)  z5= z z= である.

(ⅱ)

1 z3- z2+ 3z- 5= Az+ B

となる実数 A B を求めよう.

a(X 4+X 3+X 2+X+ 1)+( X+b) (X3 -X2 +3X -5) =c

X の恒等式になるように,定数 a b c を定めると,

a= b = c =

となる.この式を用いることによって, A= B= を得る.

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易□ 並□ 難□

【2】  2 つの箱 A B と球が 1 つあり,球は A に入っている.得点 0 から始めて,サイコロをふり,以下の規則(a),(b)に従って球を動かし得点していく.

(a) 球が A にあるときは, 1 または 6 の目が出たら,球を B に移して得点に 1 を加える. 1 6 以外の目が出たら,球は動かさず得点もそのままとする.

(b) 球が B にあるときは,偶数の目が出たら,球は動かさず得点に 1 を加える.奇数の目が出たら,球は A に移し得点はそのままとする.

(1) サイコロを 3 回振ったとき,得点が 1 である確率は 得点が 2 である確率は である.

(2) サイコロを n 回振ったとき,球が A にある確率を an B にある確率を bn とするとき,次の関係が成り立つ.

an+ 1= an+ bn bn +1= a n+ bn

(3)  an+ bn= 1 であるので,(2)の関係式より, bn の一般項は次で与えられる.

bn= ( - 1 n )

(4) サイコロを n 回振ったときの得点の期待値を En とする. n+1 回目に得点が加算される場合を考えれば, En+ 1=E n+ bn+1 である.よって, En の一般項は次のようになる.

En= n + ( 1- 1 n )

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【3】(1)  2 次関数

(☆)  y=- 12 x2 + x +

のグラフは,点 (-1 ,1) を通り,その頂点は y= x2 のグラフ上にあり, (-1 ,1) とは異なる点である.

(2) 放物線 y= x2 と放物線(☆)とで囲まれた図形の面積は である.

(3) 座標平面において, (x,y ) が放物線(☆)と直線 y= 1 で囲まれた部分を動くとき, y+3 | x-4 | のとる値の最大値は 最小値は である.

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