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2000-13363-0701
2000 上智大学 理工学部
機械工学科・化学科
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 複素数 z の偏角を θ で表す. i を虚数単位とする.次の 2 つの条件
(A) |z | 5- |z | 4+| z|- 1=0
(B) z5- z4+ z-1= -0
を考える.
[選択肢] { 1 必要十分条件 2 必要条件ではないが十分条件 3 十分条件ではないが必要条件 4 必要でも十分でもない条件
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(2) 複素数平面上において,原点 O を中心とする半径 1 の円の円周とその内部からなる領域を C とする.点 z が C 上を動くとき, w= z-1 a (ただし a> 0 )を満たす点 w のえがく図形を D⁡ (a) とする. C と D⁡ (a) の共通部分の面積を S⁡ (a) とおくと
lima→ 0⁡S ⁡(a) = ア イ⁢π ,S ⁡(1) = ウ エ ⁢ π+ オ カ⁢ キ
である.
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(3) 複素数平面上において,点 z が虚軸上を動くとき, w= 2z+1 を満たす点 w のえがく図形は,点 ク + ケ⁢ i を中心とする半径 コ の円から 1 点を除いた図形となる.
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【2】 座標空間において,原点 O を通り,ベクトル u→ =(1, 4,1) に平行な直線を l , 点 A (0, 2,1 ) を中心とする半径 1 の球面を S とする.直線 l と球面 S の交点のうち原点 O に近いものを P とおく.
(1) 点 P の座標は ( サ シ , ス セ , ソ タ ) である.
(2) ベクトル PO → とベクトル AP → の内積は チ である.
(3) 線分 PO と線分 AP を含む平面上で,線分 AP を含む直線に関して,点 O と対称な点を R とする.ベクトル PR →= ( ツ , テ , ト ) である.
(4) 線分 PR を含む直線が xy 平面と交わる点の座標は ( ナ ニ , ヌ ネ ,0 ) である.
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【3】(1) ∫ 02⁡ |x -1| ⁢dx= ノ ハ ⁢ ( ヒ + フ ) である.
(2) x=1+ sin⁡t とおいて,置換積分をおこなうと
∫ 0π2 ⁡ sin ⁢t⁢1 -sin⁡t 1+ sin⁡t ⁢d t= ヘ ⁢ ホ + マ
が得られる.
(3) 座標平面上を運動する点 P の座標 (x, y) が,時刻 t の関数として
{ x=(1 -sin⁡t )⁢cos⁡ ty =(1- sin⁡t) ⁢sin⁡t
で与えられているとする.このとき,点 P の時刻 t における速度の大きさは ミ+ ム⁢ sin⁡ t である. t=0 から t= π 2 までに点 P の動いた道のりは メ⁢ モ + ヤ である.
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【4】 表と裏の出る確率が同じであるコインを n 回投げて, i 回目が表ならば a i=1 , 裏ならば a i=0 として, ai ( i=1 , 2 ,⋯ ,n ) を定め,
fn⁡ (x)= a1⁢ x+a2 ⁢x2 +⋯+ a⁢ xn
とおく. fn ′⁡( 1) で fn ⁡(x ) の x= c における微分係数を表す.
(1) f10 ′⁡ (1) の期待値は ユ ヨ である.
(2) fn⁡ (1)= 2 であるときに, fn ′⁡ (1)≧ a である確率を Pn ⁡(a ) で表せば
P11⁡ (12)= ラ リ , P16⁡ (12)= ル レ
(3) fn ′⁡( 3) の期待値は
ロ ワ ⁢( 1+( ヲ⁢ n+ ン )⁢ 3n)