2000　上智大学　理工（機械・化学）学部MathJax

【１】

(1)　複素数$z$の偏角を$\theta$で表す．$i$を虚数単位とする．次の$2$つの条件

(A)　${|z|}^5-{|z|}^4+|z|-1=0$

(B)　$z^5-z^4+z-1=-0$

を考える．

• ・(A)は(B)であるための$\boxed{\text{あ}}$である．
• ・(A)は$z=\cos \theta +i\sin \theta$と表せるための$\boxed{\text{い}}$である．
• ・(B)は$z=\cos \theta +i\sin \theta$と表せるための$\boxed{\text{う}}$である．

【１】

(2)　複素数平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周とその内部からなる領域を$C$とする．点$z$が$C$上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{z-1}{a}}$（ただし$a>0$）を満たす点$w$のえがく図形を$D(a)$とする．$C$と$D(a)$の共通部分の面積を$S(a)$とおくと

$\underset{a\to 0}{\lim }S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi \text{，}S(1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\pi +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．

【１】

(3)　複素数平面上において，点$z$が虚軸上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{2}{z+1}}$を満たす点$w$のえがく図形は，点$\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}i$を中心とする半径$\boxed{\text{コ}}$の円から$1$点を除いた図形となる．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(1,4,1)$に平行な直線を$l\text{，}$点$\mathrm{A}(0,2,1)$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．直線$l$と球面$S$の交点のうち原点$\mathrm{O}$に近いものを$\mathrm{P}$とおく．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})$である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PO}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の内積は$\boxed{\text{チ}}$である．

(3)　線分$\mathrm{PO}$と線分$\mathrm{AP}$を含む平面上で，線分$\mathrm{AP}$を含む直線に関して，点$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$である．

(4)　線分$\mathrm{PR}$を含む直線が$xy$平面と交わる点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}},0)$である．

【３】(1)　${\displaystyle {\int }_0^2}|\sqrt{x}-1|dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}+\boxed{\text{フ}})$である．

(2)　$x=1+\sin t$とおいて，置換積分をおこなうと

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin t\sqrt{1-\sin t}}{1+\sin t}}dt=\boxed{\text{ヘ}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}+\boxed{\text{マ}}$

が得られる．

(3)　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が，時刻$t$の関数として

$\{\begin{array}{l}x=(1-\sin t)\cos t\\ y=(1-\sin t)\sin t\end{array}$

で与えられているとする．このとき，点$\mathrm{P}$の時刻$t$における速度の大きさは$\sqrt{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sin t}$である．$t=0$から$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$までに点$\mathrm{P}$の動いた道のりは$\boxed{\text{メ}}\sqrt{\boxed{\text{モ}}}+\boxed{\text{ヤ}}$である．

【４】　表と裏の出る確率が同じであるコインを$n$回投げて，$i$回目が表ならば$a_i=1\text{，}$裏ならば$a_i=0$として，$a_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を定め，

$f_n(x)=a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{}{x}^n$

とおく．${f_n}^{\prime }(1)$で$f_n(x)$の$x=c$における微分係数を表す．

(1)　${f_{10}}^{\prime }(1)$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}$である．

(2)　$f_n(1)=2$であるときに，${f_n}^{\prime }(1)\geqq a$である確率を$P_n(a)$で表せば

$P_{11}(12)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\text{，}{P}_{16}(12)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$

である．

(3)　${f_n}^{\prime }(3)$の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}}{\boxed{\text{ワ}}}}(1+(\boxed{\text{ヲ}}n+\boxed{\text{ン}})3^n)$

である．