2000　上智大学　理工(数・物・電)学部MathJax

【１】　

$z_1=1\text{，}{z}_2=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\text{，}{z}_{n+2}=z_{n+1}{z}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される複素数の数列$\{z_n\}$を考える．

(1)　複素数$z$の偏角を$\arg z$で表す．ただし，偏角は，その単位をラジアンとし，$0\leqq \arg z<2\pi$の範囲で表すものとする．このとき

$\arg z_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$

である．$n>1$で初めて$\arg z_n=0$となるのは，$n=\boxed{\text{ウ}}$のときである．さらに

$\arg z_{57}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

となる．

(2)　複素数$z$の絶対値を$|z|$で表す．このとき

$|z_5|=\boxed{\text{カ}}$

である．さらに

$|z_{12}|=2^{\boxed{\text{キ}}}$

となるので

$z_{12}=2^{\boxed{\text{キ}}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}}i)$

である．

【２】　行列を用いて表された次の連立$1$次方程式を考える．

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1\\ 2k\\ 1\end{array}\right)$

(1)　この方程式がただ$1$組の解をもつような$k$の値は$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$であり，そのときの解は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,1,1)$の両方に垂直で，その大きさが$\sqrt{14}$のベクトルのうち，$x$成分が正のものを$\overrightarrow{u}$とすると，$\overrightarrow{u}=(\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}})$である．

(3)　列ベクトル$\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)$は座標空間の点$(p,q,r)$を表すものとする．$k=0$とおくと，上の方程式は次のようになる．

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

この方程式をみたすような解$x\text{，}y$は存在しないが，左辺の式で与えられる点と右辺の点との距離が最も小さくなるのは$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$のときであり，このときの$2$点間の距離は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$となる．

【３】　$\sqrt{x}+\sqrt{2y}=\sqrt{5}\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$で定義される座標平面上の曲線を$C$とする．$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$S$とする．

(1)　$S$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．

(2)　$C$上に点$\mathrm{P}(a,b)$をとる．原点と点$\mathrm{P}$とを結ぶ線分によって$S$の面積が$2$等分されるのは，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$のときである．

(3)　$C$上の点$\mathrm{P}(a,b)$における$C$の接線が，$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さの$2$乗を，$a$の関数で表すと

${\displaystyle \frac{25}{4}}(1+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}}\sqrt{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}a)$

となる．よって，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値は$\sqrt{\boxed{\text{ユ}}}$である．

【４】　青玉$1$個，赤玉$3$個，白玉$4$個がある．下の図１および図２の黒丸の位置に，これらの玉を$1$個ずつ配置する．（ただし(2)では$1$個余る．）回転または線対称で互いに移り合うものは同じ配置として考える．

(1)　図１のように，円の中心と円周を$7$等分した点に黒丸がある場合を考える．このとき

1)　中心が青玉である配置は$\boxed{\text{ヨ}}$通りある．

2)　中心が赤玉である配置は$\boxed{\text{ラ}}$通りある．

3)　中心が白玉である配置は$\boxed{\text{リ}}$通りある．

(2)　図２のように，同心円の中心と円周を$3$等分した点に黒丸がある場合を考える．このとき

1)　青玉が中心にある配置は$\boxed{\text{ル}}$通りある．

2)　青玉が外側の円のどこかにある配置は$\boxed{\text{レ}}$通りある．

3)　配置は全部で$\boxed{\text{ロ}}$ 通りある．

【４】　座標平面上の曲線$y=x^3-3x$と直線$y=mx+n$が，$1$点$\mathrm{A}$で接し，他の$1$点$\mathrm{B}$で交わっているとする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標を$b$とおく．$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$m$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　$m$と$n$の間になりたつ関係式を求めよ．

(4)　$m$が(2)の範囲を動くとき，点$(m,n)$のえがく曲線を図示せよ．