2000　上智大学　理工(数)学部MathJax

【１】　座標平面において，$4$点$(1,0)\text{，}(1,1)\text{，}(-1,1)\text{，}(-1,0)$を頂点とする長方形の内部を$A$とおく．また，$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)$を頂点とする三角形の内部を$B$とおく．

(1)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$A$内を動くとき，

$\{\begin{array}{l}s=x+3y\\ t=x^2\end{array}$

を満たす点$\mathrm{Q}(s,t)$の動く範囲を求め，それを図示せよ．

(2)　(1)において，次の条件(a)を満たすような点$\mathrm{P}(x,y)$の範囲を求め，それを図示せよ．

・条件(a)　『点$\mathrm{P}(x,y)$に対応する点$\mathrm{Q}(s,t)$は$B$内にある．』

(3)　(1)において，次の条件(b)を満たすような点$\mathrm{P}(x,y)$の範囲を求め，それを図示せよ．

・条件(b)『点$\mathrm{P}(x,y)$と異なる$\mathrm{A}$内の点は，点$\mathrm{P}(x,y)$に対応する点$\mathrm{Q}(s,t)$と異なる点に対応する．』

【２】　$f(x)$はすべての実数で連続であり，$|x|\geqq 5$のとき$f(x)>1$とする．$F(x)$を$f(x)$の不定積分（または原始関数）のひとつとする．

(1)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=+\infty$を証明せよ．

(2)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=-\infty$を証明せよ．

(3)　$F(x)=0$となる$x$が，$3$つの区間$x\leqq -5\text{，}-5<x<5\text{，}5\leqq x$に少なくとも$1$つずつ存在するための必要十分条件は，

$F(-5)\geqq 0$かつ$F(5)\leqq 0$

であることを証明せよ．

【３】　$a$を正の無理数とする．$a_0=a$とおく．$a_0$に対して，$a_0$をこえない最大の整数を$k_0$とおき，$a_0=k_0+{\displaystyle \frac{1}{a_1}}$によって$a_1$を決める．このようにして$a_n$まで決めたとき，この$a_n$に対して，$a_n$をこえない最大の整数を$k_n$とおき，$a_n=k_n+{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$によって$a_{n+1}$を決める．

　また，数列$P_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{），}{Q}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次の漸化式で定義する．

• $P_0=1\text{，}{P}_1=k_0\text{，}{P}_{n+1}=P_{n-1}+k_n{P}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$
• $Q_0=0\text{，}{Q}_1=1\text{，}{Q}_{n+1}=Q_{n-1}+k_n{Q}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の(1)(2)(3)(4)が成り立つことを証明せよ．

(1)　$P_n{Q}_{n-1}-P_{n-1}{Q}_n={(-1)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$n\geqq 1$のとき，$P_n$と$Q_n$の最大公約数は$1$である．

(3)　$a={\displaystyle \frac{P_{n-1}+P_n{a}_n}{Q_{n-1}+Q_n{a}_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(4)　$|a-{\displaystyle \frac{P_n}{Q_n}}|<{\displaystyle \frac{1}{{Q_n}^2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$