2001　大学入試センター試験　本試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

［１］　$a\text{，}b$を実数とし，$2$次関数

• $y=4x^2-8x+5\cdots \text{①}$
• $y=\mathrm{-2}{(x+a)}^2+b\cdots \text{②}$

の表す放物線をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．

(1)　$C_1$の頂点と$C_2$の頂点が一致するとき，

$a=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　$\text{①}$について，$y=17$となる$x$の値は$\boxed{\text{エオ}}$と$\boxed{\text{カ}}$である．

　$\text{②}$についても，$y=17$となる$x$の値が$\boxed{\text{エオ}}$と$\boxed{\text{カ}}$であるとすると，$C_2$の軸は直線$x=\boxed{\text{キ}}$で，頂点の座標は

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{クケ}})$

である．

(3)　$C_1$を$x$軸方向に$c\text{，}y$軸方向に$\mathrm{-4}c$だけ平行移動したとき，$y$軸と点$(0,4)$で交わるならば

$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．このとき，移動した放物線を表す$2$次関数の最小値は$\text{①}$の最小値より$\boxed{\text{ス}}$だけ大きい．

【１】

［２］　赤玉$3$個，青玉$2$個，黄玉$1$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を確かめてから袋に戻す．このような試行を最大で$3$回までくり返す．ただし，赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない．

(1)　試行が$1$回または$2$回で終わる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　試行が$1$回行われるごとに$100$円受け取るとする．受け取る金額の期待値は$\boxed{\text{タチツ}}$円である．

(3)　青玉がちょうど$2$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(4)　黄玉が少なくとも$1$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$である．

【２】　図のように交わる$2$円$O\text{，}$$O^{\mathrm{\prime }}$がある．この図において$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$2$円の交点，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$と円$O^{\prime }$の交点，$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{CB}$と円$O$の交点である．さらに

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}\text{，}$$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{5}$

とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}$

$\cos \angle \mathrm{ABD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{，}$

$\mathrm{AD}=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

となり，円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．また$▵\mathrm{ABD}$の面積は$\boxed{\text{コ}}$である．一方，

$\mathrm{BC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

となり，$▵\mathrm{ADC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

【３】　図のように，$6$個の正方形が上下$2$段に$3$個ずつ並んでいる．

　それぞれの正方形に$1$から$6$までの異なる数字を一つずつ書く．

(1)　このような書き方は全部で$\boxed{\text{アイウ}}$通りある．

(2)　上段にある三つの数がすべて奇数，下段にある三つの数がすべて偶数であるような書き方は$\boxed{\text{エオ}}$通りある．

(3)　上段にある三つの数も，下段にある三つの数も左から小さい順に並んでいるような書き方は$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

(4)　(3)のような書き方のうち，上段にあるどの数についても，その真下にある数より小さくなるような書き方は$\boxed{\text{ク}}$通りある．

(5)　上段にあるどの数についても，その真下にある数との和が$7$であるような書き方は$\boxed{\text{ケコ}}$通りある．

【２】

［１］　$a$を実数とし，$x$の整式$A\text{，}$$B$を

$A=x^3+5x^2+a^{2}x+a^2-6a+20$

$B=x^3+(a^2+5)x+a^2-6a+30$

とする．このとき

$A-B=5(x+\boxed{\text{ア}})(x-\boxed{\text{イ}})$

である．

(1)　$P=x+\boxed{\text{ア}}$とし，$A$が$P$で割り切れるとする．このとき

$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}A=(x^2+4x+\boxed{\text{エオ}})P$

である．さらに

$B=(x^2-x+\boxed{\text{カキ}})P$

であり，$A\text{，}$$B$はともに$P$で割り切れる．

(2)　$Q=x-\boxed{\text{イ}}$とすると，$A$を$Q$で割った余り$R$は

$R=\boxed{\text{ク}}{(a-1)}^2+45$

となる．よって，どんな$a$についても余り$R$は正となり，$A$は$Q$で割り切れない．

【２】

［２］　図のように交わる$2$円$O\text{，}$$O^{\prime }$がある．この図において$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$2$円の交点，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$と円$O^{\prime }$の交点，$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{CB}$と円$O$の交点である．さらに

$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}\text{，}$$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{5}$

とする．このとき

$\cos \angle \mathrm{ABD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}$$\mathrm{AD}=\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

となり，円$O$の半径$\mathrm{OA}$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．また円$O^{\prime }$の半径${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．さらに$2$円の中心間の距離は

$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

となる．

【３】(1)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+2}-a_n=4$$(n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots )$

　このとき，

$a_3=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$a_4=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$a_5=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$a_6=\boxed{\text{オカ}}$

であり，$a_{40}=\boxed{\text{キク}}$である．また，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{40}}{a}_k=\boxed{\text{ケコサシ}}$

である．

(2)　数列$\{b_n\}$の各項から定数$c$を引いて得られる数列は，公比$2$の等比数列である．$b_3=7\text{，}$$b_4=11$であるとき，

$c=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$b_1=\boxed{\text{セ}}$

である．また，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{b}_k=\boxed{\text{ソタチツ}}$

である．

【４】　半径$1$の円$O$の直径$\mathrm{AB}$によって分けられる半円周上を動く点$\mathrm{C}$がある．$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$の延長と円$O$の交点を$\mathrm{E}$とする．

　以下の文章中の$\boxed{\text{アイウ}}$と$\boxed{\text{クケコ}}$については，当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{E}$のうちから選べ．ただし，アとウ，ク とコは解答の順序を問わない．

　点$\mathrm{D}$の軌跡を調べよう．$\mathrm{D}$は$▵\mathrm{ABC}$の内心であるから，

$\angle \mathrm{ACD}={\displaystyle \frac{1}{2}}\angle \boxed{\text{アイウ}}$

であり，$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{ACE}$により，$\angle \mathrm{ABE}=\boxed{\text{エオ}}°$となる．よって，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が定点であるから，$\mathrm{E}$は定点であることがわかる．次に，$▵\mathrm{EBD}$において，

$\angle \mathrm{EDB}=\angle \mathrm{DCB}+\angle \mathrm{DBC}\text{，}$$\angle \mathrm{EBD}=\angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{DBA}$

に注意すると，

$\angle \mathrm{EDB}=\boxed{\text{カキ}}°+{\displaystyle \frac{1}{2}}\angle \boxed{\text{クケコ}}=\angle \mathrm{EBD}$

となる．したがって，$▵\mathrm{EBD}$は二等辺三角形で$\mathrm{ED}=\mathrm{EB}$である．これにより$\mathrm{D}$の軌跡は$\mathrm{E}$を中心とした半径$\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$の円弧であることがわかる．

　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とし，$\mathrm{E}$からこの内接円に引いた接線の接点と$\mathrm{E}$との距離を$l$とする．$l^2=\boxed{\text{シ}}-r^2$であるから，$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{スセ}}°$のとき$l$は最小となり，そのとき$l^2=\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}-\boxed{\text{チ}}$である．

【５】(1)　右の流れ図を考える．ただし，$N$には自然数を入力することとする．

　$X=2\text{，}$$N=5$のとき，この流れ図にそって計算すると，$Y$は$\boxed{\text{アイ}}$となる．また，$X=1\text{，}$$N=13$のとき，この流れ図にそって計算すると，処理 $Y$に$Y\times X$を代入  は$\boxed{\text{ウ}}$回実行され，処理 $X$に$X^2$を代入  は$\boxed{\text{エ}}$回実行される．

(2)　次のプログラムを考える．ただし，N には自然数を入力することとする．また， INT(A) は A をこえない最大の整数を与える関数とする．

• 100 INPUT "X=" ; X
• 110 INPUT "N=" ; N
• 120 Y = 1
• 130 X = X * X
• 140 IF N - 2 * INT (N / 2) = 0 THEN GOTO 160
• 150 Y = Y * X
• 160 N = INT (N / 2)
• 170 IF N = 0 THEN GOTO 190
• 180 GOTO 140
• 190 PRINT "Y=" ; Y
• 200 END

　このプログラムを実行し，X に$2$，N に$5$を入力すると，Y = $\boxed{\text{オカ}}$と表示される．

(3)　(2)のプログラムを(1)の流れ図の処理を実行するプログラムに書き換えるためには，130 行を削除し，$\boxed{\text{キ}}$行として X = X * X を追加すればよい．ただし，$\boxed{\text{キ}}$には次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{3}}$のうちから当てはまるものを選べ．

• $\overline{)\text{0}}$ 115
• $\overline{)\text{1}}$ 145
• $\overline{)\text{2}}$ 155
• $\overline{)\text{3}}$ 175