2001　大学入試センター試験　追試験　数学II・数学IIBMathJax

【１】

〔１〕　$4({1+2\cos \theta )}^3$を$\cos \theta \text{，}$$\cos 2\theta \text{，}$$\cos 3\theta$の一次式として表そう．

${\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(1+\cos 2\theta )$

　また

$\cos 3\theta =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta$$=\boxed{\text{イ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ウ}}\cos \theta$

より

${\cos }^3\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}\cos \theta +\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\cos 3\theta }$

である．

　これらのことから$4{(1+\cos \theta )}^3$は，次のように

$\boxed{\text{クケ}}+\boxed{\text{コサ}}\cos \theta$$+\boxed{\text{シ}}\cos 2\theta +\cos 3\theta$

と表される．

【１】

〔２〕　五つの数

$0\text{，}$$1\text{，}$$a={\log }_5{2}^{1.5}\text{，}$$b={\log }_5{3}^{1.5}\text{，}$$c={\log }_5{0.5}^{1.5}$

を小さい順に並べると

$\boxed{\text{ス}}<0<\boxed{\text{セ}}<\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{タ}}$

である．

【１】

〔３〕　方程式

$6^x-{\displaystyle \frac{2^x}{27}}-27\cdot 3^x+1=0$

を考える．$X=2^x\text{，}$$Y=3^x$とおくと，この方程式の左辺は

$(X-\boxed{\text{チツ}})(Y-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{トナ}}}})$

と因数分解される．したがって，この方程式の解$x$は二つあり，そのうち小さい方の解は$\boxed{\text{ニヌ}}$であり，大きい方の解の整数部分は$\boxed{\text{ネ}}$である．

【２】

〔１〕　座標平面において放物線$y=x^2$を$C$とし，直線$y=ax$を$l$とする．ただし$0<a<1$とする．$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，次に$C$と$l$と直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$は

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{a}^{\boxed{\text{ウ}}}$

と表される．

(2)　二つの面積の和$S=S_1+S_2$は

$S={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}{a}^{\boxed{\text{オ}}}-\frac{1}{\boxed{\text{カ}}}a+\frac{1}{\boxed{\text{キ}}}}$

と表される．

(3)　$S$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}-\frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$をとる．

【２】

〔２〕　曲線$y=2x^3-3x$を$C$とする．

(1)　$C$上の点$(a,2a^3-3a)$における$C$の接線の方程式は

$y=(\boxed{\text{セ}}{a}^{\boxed{\text{ソ}}}-\boxed{\text{タ}})x-\boxed{\text{チ}}{a}^{\boxed{\text{ツ}}}$

である．

(2)　上で求めた接線が点$(1,b)$を通るのは

$b=\boxed{\text{テト}}{a}^{\boxed{\text{ナ}}}+\boxed{\text{ニ}}{a}^{\boxed{\text{ヌ}}}-\boxed{\text{ネ}}$

が成り立つときである．

(3)　したがって，点$(1,b)$から$C$へ相異なる$3$本の接線が引けるのは

$\boxed{\text{ノハ}}<b<\boxed{\text{ヒフ}}$

のときである．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{5}$の円の外部に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$からこの円に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は次の条件を満たしている．

• $\text{①}\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\mathrm{OP}=5$である．
• $\text{②}\mathrm{Q}$は第$4$象限にあり，その$x$座標は$2$である．

(1)　条件$\text{②}$より，点$\mathrm{Q}$の座標は$(2,\boxed{\text{アイ}})$となり，接線$\mathrm{QP}$の方程式は

$y=\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}$

となる．原点を中心とする半径$5$の円と，上で求めた接線$\mathrm{QP}$の交点は

$\mathrm{P}(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$

と

$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{クケ}})$

である．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を$(a,b)$とする．

　線分$\mathrm{QR}$の中点は直線$\mathrm{OP}$上にあるので，$a\text{，}$$b$は

$\boxed{\text{コ}}a-\boxed{\text{サ}}b+\boxed{\text{シス}}=0$

を満たす．

　また，直線$\mathrm{QR}$は直線$\mathrm{OP}$と直交するので，$a\text{，}b$は

$\boxed{\text{セ}}a+\boxed{\text{ソ}}b-\boxed{\text{タ}}=0$

を満たす．

　したがって，$\mathrm{R}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テ}}},\frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニ}}})}$

となる．

【４】　放物線

$y={\displaystyle -\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}}$

上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし$p>0$とする．$\mathrm{P}$における放物線の接線を$l$とし，$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．原点を$\mathrm{O}\text{，}$直線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ア}}p$となるので，直線$m$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{p}x-\frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}(p^{\boxed{\text{エ}}}+1)}$

である．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$p$を用いて表せば

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}p(p^{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ク}}),0)$

となり，線分$\mathrm{PQ}$の長さの平方は

${\mathrm{PQ}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}(p^2+\boxed{\text{サ}}){(p^2-\boxed{\text{シ}})}^2$

となる．

(3)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{OQ}$となるときの$p$の値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，$\mathrm{P}$の座標は

${\displaystyle (\frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}},\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}})}$

である．

【３】　五角形$\mathrm{ABCDE}$は，半径$1$の円に内接し

$\angle \mathrm{EAD}=30°\text{，}$

$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{BAD}$$=\angle \mathrm{CDA}=60°$

を満たしている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　

• $\overrightarrow{\mathrm{BC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{b}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\overrightarrow{a}+\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\overrightarrow{b}}$

である．

　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$との内積は

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{ケ}}$

であり

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

である．

(2)　$\angle \mathrm{CAD}$の$2$等分線と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(\boxed{\text{サ}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}})\overrightarrow{a}$$+(\sqrt{\boxed{\text{ス}}}-\boxed{\text{セ}})\overrightarrow{b}$

であり

${\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2=\boxed{\text{ソタ}}-\boxed{\text{チツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

である．

　さらに，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CE}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$

である．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上に，三つの複素数$i$（虚数単位），$\beta \text{，}$$\gamma$を表す点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$C$が

• $\angle \mathrm{COB}=120°\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}=60°\text{，}$
• $\mathrm{OB}=2\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

を満たし，図のように与えられているとする．

(1)　$\angle \mathrm{COB}=120°\text{，}$$\mathrm{OB}=2\mathrm{OC}$より

$\beta =(-\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}i)\gamma$

である．

　また，$\angle \mathrm{BAC}=60°\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$より

$\gamma -i=\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}i}{\boxed{\text{オ}}}}\right)(\beta -i)$

である．したがって

$\beta ={\displaystyle \frac{-\sqrt{\boxed{\text{カ}}}+i}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}$$\gamma ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ク}}}+i}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{BC}$の長さ$|\gamma -\beta |$は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

であり，$\arg (\gamma -\beta )=\theta$とすると

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{14}}\text{，}$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{14}}$

である．

【５】　三つのさいころを同じに振り，出た目の最大値を$X\text{，}$最小値を$Y\text{，}$その差$X-Y$を$Z$とする．

　ただし，さいころは互いに区別できるものとする．

(1)　$Z=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(2)　$Z=4$となる場合の数を計算してみよう．

　このとき，$X$は$5$または$6$である．

　$X=5$とし，出たさいころの目を大きい方から順に並べて三つ組$(5,i,1)$を作る．ただし$1\leqq i\leqq 5$である．

　どのさいころの目であるかを考えに入れると，$(5,1,1)\text{，}$$(5,5,1)$にはそれぞれ$\boxed{\text{エ}}$通りの場合があり，$(5,2,1)\text{，}$$(5,3,1)\text{，}$$(5,4,1)$に対しては，それぞれ$\boxed{\text{オ}}$通りの場合がある．

　したがって，$Z=4$かつ$X=5$となる場合は，合計$\boxed{\text{カキ}}$通りである．

　$X=6$の場合も同様に考えると，$Z=4$となるのはまとめて$\boxed{\text{クケ}}$通りである．

(3)　(2)と同様にして考えると

　$Z=5$となる場合は$\boxed{\text{コサ}}$通り

　$Z=3$となる場合は$54$通り

　$Z=2$となる場合は$48$通り

　$Z=1$となる場合は$30$通りである．

(4)　$Z=4$という条件のもとで，$X=5$となる条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(5)　$Z$の平均（期待値）は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

【６】　$m$個の赤い玉と$n$個の白い玉を二つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に入れる．次の$3$条件をすべて満たすような入れ方を列挙するプログラムを考えよう．ただし，同じ色の玉は区別しない．

• $\text{①}$　どの玉も $\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$どちらかの箱に入れる．
• $\text{②}$　赤い玉はどちらの箱にも$2$個までしか入れない．
• $\text{③}$　箱の中の白い玉の個数が$0$でないときは，その箱の中では白い玉の個数が赤い玉の個数より多い．

　プログラム中では，箱$\mathrm{A}$の中の赤い玉の個数が I で表されている．

• 100 INPUT "m, n = ";M , N
• 110 FOR I = 0 TO 2
• 120 J = M - I
• 130 IF J < 0 THEN GOTO $\boxed{\text{ウエオ}}$
• 140 IF J > 2 THEN GOTO $\boxed{\text{ウエオ}}$
• 150 FOR P = 0 TO N
• 160  Q = N - P
• 170  IF (P > 0 AND I >= P) THEN GOTO $\boxed{\text{カキク}}$
• 180  IF(Q > 0 AND J >= Q) THEN GOTO $\boxed{\text{カキク}}$
• 190  PRINT "(";I;P;"),(";J;Q;")"
• 200 NEXT P
• 210 NEXT I
• 220 END

注　$x\text{，}y$を条件式とするとき，「$x$ AND $y$」は「$x$かつ$y$」を意味する．

(1)　箱$\mathrm{B}$の中の白い玉の個数を表す変数を，次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{6}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{ア}}$

• $\overline{)\text{1}}$ I
• $\overline{)\text{2}}$ J
• $\overline{)\text{3}}$ M
• $\overline{)\text{4}}$ N
• $\overline{)\text{5}}$ P
• $\overline{)\text{6}}$ Q

(2)　意図どおりのプログラムにするには，150 行以下の FOR 〜 NEXT 文はどのような場合に実行させるべきか．次の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．$\boxed{\text{イ}}$

• $\overline{)\text{1}}$ J < 0 かつ J > 2
• $\overline{)\text{2}}$ J < 0 または J > 2
• $\overline{)\text{3}}$ J $\geqq$ 2 かつ J $\leqq$ 2
• $\overline{)\text{4}}$ J $\geqq$ 0 または J $\leqq$ 2

(3)　プログラム中の空欄に適当な数値を入れてプログラムを完成せよ．

(4)　このプログラムを実行して m , n = ? に対して 2 , 5 と入力すると，全部で$\boxed{\text{ケコ}}$組の解が表示され，そのうちの$1\text{〜}6$番目の解は，それぞれ

(	0	0	)	，	(	2	5	)
(	0	1	)	，	(	2	4	)
(	$\boxed{\text{サ}}$	$\boxed{\text{シ}}$	)	，	(	$\boxed{\text{ス}}$	$\boxed{\text{セ}}$	)
(	$\boxed{\text{ソ}}$	$\boxed{\text{タ}}$	)	，	(	2	0	)
(	$\boxed{\text{チ}}$	$\boxed{\text{ツ}}$	)	，	(	$\boxed{\text{テ}}$	$\boxed{\text{ト}}$	)
(	$\boxed{\text{ナ}}$	$\boxed{\text{ニ}}$	)	，	(	$\boxed{\text{ヌ}}$	$\boxed{\text{ネ}}$	)

である．