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2001 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の曲線 y= a( xb )2 +c を考える.ただし, a b c は定数で a 0 とする.この曲線上の点 P (p ,q) での接線が x 軸と交点をもつとき,その交点を (f (p) ,0) とする.

(1)  f(p) p 1 次関数になるための a b c に対する必要十分条件を求めよ.

(2)  x1= p x2 =f (x1 ) x3= f( x2 ) x n=f (x n1 ) とおくとき,(1)で求めた条件の下で x n n2 を求めよ.

2001 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1) 関数 y=| x1 |+ |x 2| +|x 3 | のグラフをかけ.

(2)  n=1 2 3 のとき, x の関数 y= k =12 n+1 |xk | の最小値とそれを与える x を求めよ.

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文系学部

易□ 並□ 難□

【3】 複素数平面上の 2 z 1=( 1+2 )+ 2 i z 2= 3i を通る円のうち,中心が実軸上にある円 C についてつぎの問いに答えよ.

(1) 円 C の中心 ω と半径 r を求めよ.

(2) 複素数 z 1 ω z 2 ω の偏角をそれぞれ求めよ.

(3) 線分 z 1ω 線分 z 2ω と短い方の円弧 z1 z2 で囲まれるおうぎ形の面積を求めよ.

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文系学部

理系学部【5】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  A B C 3 人がつぎのように勝負をくり返す. 1 回目には A B の間で硬貨投げにより勝敗を決める. 2 回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの 1 人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負をくり返し,誰かが 2 連勝するか,または, 4 回目の勝負を終えたとき,終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率は各々 12 である.

(1)  A B C のうちの誰かが 2 連勝して終了する確率を求めよ.

(2)  A 2 連勝して終了する確率を求めよ.

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理系学部

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【1】  ω= 1+ 3i 2 とおく.ただし, i は虚数単位である.

(1) 実数 a b c d に対して a +b ω=c +d ω が成り立つとき, a=c かつ b =d であることを示せ.

(2) 実数 x y に対して,実数 s t s +t ω=ω (x +y ω) によって定めるとき,

(s t )=A ( xy )

となる 2 次の正方行列 A を求めよ.

(3)  n=1 2 3 のとき,上の A に対して (A2 +E )3 n を求めよ.ただし, E は単位行列である.

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理系学部

易□ 並□ 難□

【3】 不等式 cos 2x+ cx 21 がすべての実数 x について成り立つような定数 c の範囲を求めよ.

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理系学部

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面上の円 x 2+y 2=1 へ,この円の外部の点 P (a, b) から 2 本の接線を引き,その接点を A B とし,線分 AB の中点を Q とする.

(1) 点 Q の座標を a b を用いて表せ.

(2) 点 P が円 (x3 )2+ y2= 1 の上を動くとき,点 Q の軌跡を求めよ.

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理系学部

易□ 並□ 難□

【4】  −1<a <1 とする.

(1) 積分 0a 11 x2 d x を求めよ.

(2)  n=1 2 3 のとき,つぎの等式を示せ.

0a x2 n+2 1 x2 dx= 12 log 1+a 1 a k=0 n a2 k+1 2 k+1

(3) 次の等式を示せ.

log 1+a 1 a=2 k= 0 a 2k +1 2k +1

2001 北海道大学 前期

理系学部

文系学部【4】の類題

易□ 並□ 難□

【5】  A B C 3 人がつぎのように勝負をくり返す. 1 回目には A B の間で硬貨投げにより勝敗を決める. 2 回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの 1 人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負をくり返し,誰かが 2 連勝するか,または, 100 回目の勝負を終えたとき,終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率は各々 12 である.

(1)  4 回以内の勝負で A 2 連勝する確率を求めよ.

(2)  n=2 3 100 とする. n 回以内の勝負で, A B C のうち誰かが 2 連勝する確率を求めよ.

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