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2001-10001-0101
2001 北海道大学 前期
文系学部
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上の曲線 y= a⁢( x−b )2 +c を考える.ただし, a ,b , c は定数で a ≠0 とする.この曲線上の点 P (p ,q) での接線が x 軸と交点をもつとき,その交点を (f ⁡(p) ,0) とする.
(1) f(p) が p の 1 次関数になるための a , b ,c に対する必要十分条件を求めよ.
(2) x1= p ,x2 =f⁡ (x1 ) , x3= f⁡( x2 ), ⋯ ,x n=f ⁡(x n−1 ) とおくとき,(1)で求めた条件の下で x n( n≧2 ) を求めよ.
2001-10001-0102
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 y=| x−1 |+ |x −2| +|x −3 | のグラフをかけ.
(2) n=1 ,2 ,3 ,⋯ のとき, x の関数 y= ∑k =12 ⁢n+1 ⁡ |x−k | の最小値とそれを与える x を求めよ.
2001-10001-0103
【3】 複素数平面上の 2 点 z 1=( 1+2 )+ 2⁢ i と z 2= 3⁢i を通る円のうち,中心が実軸上にある円 C についてつぎの問いに答えよ.
(1) 円 C の中心 ω と半径 r を求めよ.
(2) 複素数 z 1− ω と z 2− ω の偏角をそれぞれ求めよ.
(3) 線分 z 1ω , 線分 z 2ω と短い方の円弧 z1 z2 ⏜ で囲まれるおうぎ形の面積を求めよ.
2001-10001-0104
理系学部【5】の類題
【4】 A ,B ,C の 3 人がつぎのように勝負をくり返す. 1 回目には A と B の間で硬貨投げにより勝敗を決める. 2 回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの 1 人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負をくり返し,誰かが 2 連勝するか,または, 4 回目の勝負を終えたとき,終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率は各々 12 である.
(1) A ,B ,C のうちの誰かが 2 連勝して終了する確率を求めよ.
(2) A が 2 連勝して終了する確率を求めよ.
2001-10001-0105
理系学部
【1】 ω= −1+ 3⁢i 2 とおく.ただし, i は虚数単位である.
(1) 実数 a , b ,c ,d に対して a +b⁢ ω=c +d⁢ ω が成り立つとき, a=c かつ b =d であることを示せ.
(2) 実数 x ,y に対して,実数 s , t を s +t⁢ ω=ω ⁢(x +y⁢ ω) によって定めるとき,
(s t )=A ⁢( xy )
となる 2 次の正方行列 A を求めよ.
(3) n=1 , 2 ,3 ,⋯ のとき,上の A に対して (A2 +E )3 ⁢n を求めよ.ただし, E は単位行列である.
2001-10001-0106
【3】 不等式 cos⁡ 2⁢x+ c⁢x 2≧1 がすべての実数 x について成り立つような定数 c の範囲を求めよ.
2001-10001-0107
【4】 xy 平面上の円 x 2+y 2=1 へ,この円の外部の点 P (a, b) から 2 本の接線を引き,その接点を A ,B とし,線分 AB の中点を Q とする.
(1) 点 Q の座標を a , b を用いて表せ.
(2) 点 P が円 (x−3 )2+ y2= 1 の上を動くとき,点 Q の軌跡を求めよ.
2001-10001-0108
【4】 −1<a <1 とする.
(1) 積分 ∫0a ⁡ 11− x2 ⁢d x を求めよ.
(2) n=1 , 2 ,3 ,⋯ のとき,つぎの等式を示せ.
∫0a ⁡ x2⁢ n+2 1− x2 ⁢dx= 12 ⁢log⁡ 1+a 1− a− ∑ k=0 n⁡ a2 ⁢k+1 2⁢ k+1
(3) 次の等式を示せ.
log⁡ 1+a 1− a=2 ⁢ ∑k= 0∞ ⁡a 2⁢k +1 2⁢k +1
2001-10001-0109
文系学部【4】の類題
【5】 A ,B ,C の 3 人がつぎのように勝負をくり返す. 1 回目には A と B の間で硬貨投げにより勝敗を決める. 2 回目以降には,直前の回の勝者と参加しなかった残りの 1 人との間で,やはり硬貨投げにより勝敗を決める.この勝負をくり返し,誰かが 2 連勝するか,または, 100 回目の勝負を終えたとき,終了する.ただし,硬貨投げで勝つ確率は各々 12 である.
(1) 4 回以内の勝負で A が 2 連勝する確率を求めよ.
(2) n=2 , 3 ,⋯ ,100 とする. n 回以内の勝負で, A ,B , C のうち誰かが 2 連勝する確率を求めよ.