2001　東北大学　前期MathJax

【１】　$2$つの放物線$C:y=-{(x+1)}^2$と$D:y={(x-1)}^2+1$の$2$本の共通接線を求めよ．また，$C\text{，}D$の$2$本の共通接線と$C$の囲む部分の面積を求めよ．

【２】　放物線$y={(x-p)}^2-2$が，$3$点$(0,0)\text{，}(1,2)\text{，}(0,2)$を頂点とする三角形と交わるような実数$p$の範囲を求めよ．

【３】　袋の中に赤の玉と白の玉が合計$4$個入っている．$1$回の試行では袋から$1$個の玉を無作為に取り出し，それが白であれば袋に戻し，赤の玉の場合は戻さずに別に用意した白の玉$1$個を袋に入れる．

(1)　最初は赤の玉と白の玉が$2$個ずつであるとして，$3$回以下の試行で袋の中が白の玉$4$個となる確率を求めよ．

(2)　最初は赤の玉が$3$個，白の玉が$1$個であるとして，$5$回以下の試行で袋の中が白の玉$4$個となる確率を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{LP}}\text{，}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\text{，}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{\mathrm{NR}}$とおく．

(1)　線分$\mathrm{LP}\text{，}\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{NR}$は$1$点で交わることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}\text{，}\overrightarrow{r}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{LP}\text{，}\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{NR}$が互いに直交するとする．$\mathrm{X}$を$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\overrightarrow{\mathrm{LP}}$となる空間の点とするとき，四面体$\mathrm{XABC}$の体積を$|\overrightarrow{p}|\text{，}|\overrightarrow{q}|\text{，}|\overrightarrow{r}|$を用いて表せ．

【１】　$a\text{，}b$を正の数とする．$2$つの曲線

$y=x^3+b{x}^2\text{，}y=a{x}^2+abx$

によって囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)　$S$を$a$と$b$で表せ．

(2)　$a+b=1$のとき，$S$を最小にする$a\text{，}b$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}}\text{（}x\ne 0\text{）}$について，

$a=\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}b=\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$

とおく．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x$の範囲で，$3$つの関数

$\sqrt{1+2x}\text{，}1+ax\text{，}1+ax+b{x}^2$

の大小関係を調べ，これらの関数のグラフを同一の$xy$平面上に描け．

【３】　$1$から$200$までの整数が$1$つずつ記入された$200$枚のカードの入った箱がある．この箱から$1$枚のカードを無作為に抜き出して，それに書かれた数が奇数であればその数を得点とし，偶数の場合は奇数になるまで$2$で割って得られる奇数を得点とする．例えば，抜き出したカードの数が$28$であれば，これを$2$で$2$回割って得られる$7$が得点となる．$1$枚のカードを抜き出したときの得点の期待値を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{LP}}\text{，}\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\text{，}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{\mathrm{NR}}$とおく．

(1)　線分$\mathrm{LP}\text{，}\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{NR}$は$1$点で交わることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}\text{，}\overrightarrow{r}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{LP}\text{，}\mathrm{MQ}\text{，}\mathrm{NR}$が互いに直交するとする．$\mathrm{X}$を$\overrightarrow{\mathrm{AX}}=\overrightarrow{\mathrm{LP}}$となる空間の点とするとき，四面体$\mathrm{XABC}$の体積および四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$|\overrightarrow{p}|\text{，}|\overrightarrow{q}|\text{，}|\overrightarrow{r}|$を用いて表せ．

【５】　複素数$z=x+yi\text{，}w=u+vi$（ただし，$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$は実数）は$|z|=|w|=1$を満たし，$yv<0$とする．$|1+z+w|<1$となるための必要十分条件を$x$と$u$を用いて表せ．

【６】(1)　$n$を正の整数とする．$t\geqq 0$のとき，不等式$e^t>{\displaystyle \frac{t^n}{n!}}$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

(2)　極限$I_m=\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^t}{x}^m{e}^{-x}dx\text{（}m=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

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