2001　東北大学　後期MathJax

【１】　$2$つの放物線$C:y=2x^2+ax\text{，}D:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+bx+c$がそれぞれ原点$(0,0)$と点$(2,2)$で直線$y=x$と接するように$a\text{，}b\text{，}c$の値を定めよ．また，このとき$C$の$x\geqq 0$の部分と$D$および直線$y=x$が囲む部分の面積を求めよ．

【２】　$a$は定数で，$-90°<t<90°$とする．$2$点

• $\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}}\sin t+\cos 2t,\tan t)\text{，}$
• $\mathrm{Q}(\sin 2t+a\cos t,3\sin t-2\cos t+a+2)$

がある$t$に対して同じ点となるとき，定数$a$の値およびそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，

$f(x)=x^2-2a|x|+b$

とする．$|f(x)|=1$を満たす実数$x$の個数を$N$とする．

(1)　$a\leqq 0$のとき，$N$の最大値を求めよ．

(2)　$N=6$となるような点$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．

【４】　$n$を正の整数とする．$2$人が$1$対$1$で対戦する競技の大会に$2n$人の選手が参加する．$1$日の試合の組み合わせ表は，どの選手も$1$試合行うように，$n$試合の組み合わせを決めたものである．

(1)　$1$日の試合の組み合わせ表は全部で何通りあるか．ただし，試合の順序は考えず，どの選手の対戦相手も同じなら，同じ組み合わせ表とする．

(2)　$1$日目の組み合わせ表を決めておく．どの選手の対戦相手も$1$日目と違う$2$日目の組み合わせ表が$M_n$通りあるとする．$1$つの試合だけが$1$日目と同じ対戦相手で，他のどの選手の対戦相手も$1$日目と違う$2$日目の組み合わせ表が何通りあるかを，$n$と$M_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$n=4\text{，}$すなわち参加選手が$8$人であるとする．$1$日目の試合が終わった後で，$2$日目の対戦相手を無作為に決めるとき，どの選手の$2$日目の対戦相手も$1$日目と違う確率を求めよ．

【１】　$a>1$とする．$xy$平面上の領域

$D:1\leqq x\leqq a\text{，}0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$

を，$y$軸に平行な$n-1$本の直線

$x=a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{，}1<a_1<a_2<\cdots <a_{n-1}<a\text{）}$

により分割し，$D$の面積を$n$等分する．$a_n=a$として，極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{a_n}})}$

を求めよ．

【２】　複素数平面において，

(1)　$\alpha$を絶対値$1$の複素数とし，$l$を原点と$\alpha$を通る直線とする．$\alpha$を通り$l$に垂直な直線$m$上の点$z$は方程式

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=2$

を満たすことを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を絶対値$1$の複素数とし，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\text{，}{\displaystyle \frac{\gamma }{\beta }}\text{，}{\displaystyle \frac{\alpha }{\gamma }}$の偏角はすべて$0°$より大きく$180°$より小さいとする．このとき，$3$つの直線

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=2\text{，}\bar{\beta }z+\beta \bar{z}=2\text{，}\bar{\gamma }z+\gamma \bar{z}=2$

で囲まれる部分が原点を中心とする正三角形であれば，

$\alpha +\beta +\gamma =0$

となることを示せ．

【４】　$a\text{，}x\text{，}y$は実数で，$a<1\text{，}y<x$とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a& a+1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right)$

は$AB=BC$を満たすとする．

(1)　$B$を$a$を用いて表せ．

(2)　$B^{-1}$および$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$a$を用いて表せ．

(3)　数列$\{p_n\}$を

$p_0=b\text{，}{p}_1=c\text{，}\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ p_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{p}_{n-1}\\ p_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$\{p_n\}$が収束するための$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．また，そのときの極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【５】　$a>0$に対して，曲線$y={\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2a}}\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$の長さを$L(a)$とする．

(1)　この曲線の概形を描け．

(2)　$L(a)$を求めよ．

(3)　$L(a)$は$a$の関数として単調増加関数であることを示せ．

【６】　$0<a<1$であるような定数$a$に対して，次の方程式で表される曲線$C$を考える．

$C:a^2(x^2+y^2)={(x^2+y^2-x)}^2$

(1)　$C$の極方程式を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸および$y$軸との交点の座標を求め，$C$の概形を描け．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$とする．$C$上の点の$x$座標の最大値と最小値および$y$座標の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．