2001　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　$t$を実数とする．$2$次関数$f(x)=x^2$において，$x$の定義域が$t\leqq x\leqq t+2$であるとき，最小値が$0$となり，最大値が$-t+2$となるという．このようになる場合の$t$の値をすべて求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$を$C$とおく．

(1)　$C$上の$2$点$(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}(\beta ,{\beta }^2)$を通る直線を$l$とし，放物線と$l$とで囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$\alpha <\beta$とする．$S={\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$であることを示せ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での接線と直交する直線を$m$とする．$\mathrm{P}$が原点以外の$C$上の点を動くとき，$C$と$m$で囲まれた図形の面積の最小値を求めよ．

【３】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$で，四辺の長さが

$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{CD}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{DA}=2$

であるとする．

(1)　対角線$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

【４】　$10$個の内容から正しいものを$3$個選ぶ問題を出題することになった．正しい回答には$1$個につき$5$点を与え，間違った回答には$1$個につき$n$点を減点するものとする．ただし，$n$は正の整数とする．回答者がでたらめに$3$個の答えを選んで回答するとき，得点の期待値が負にならないように$n$を設定したい．$n$を求めよ．