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2001-10221-0201
2001 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの数列 {an }, {bn } を
( a1 b1 ) =(1 0 ) ,( a n+1 b n+1 )= ( 35 23 2 5 13 ) ⁢( an bn ) (n =1, 2, 3, ⋯)
により定める.次の問いに答えよ.
(1) an+ bn を求めよ.
(2) an および bn を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ an および lim n→∞ ⁡b n を求めよ.
2001-10221-0202
【2】 空間ベクトル a→ , b→ , c→ は条件
| a→ |= |b → |= |c →| =1, a→ ⋅b→ =b→ ⋅c →= c→⋅ a→ =0
をみたすものとする.空間内に原点 O をとり,定点 A ,N および,実数 t ( 0<t< 2⁢π ) を変数とする動点 P を
OA→ =a→ , ON→ =-a→ +c→ , OP→ =(cos⁡ t)⁢a →+( sin⁡t) ⁢b→
によって定める.次の問いに答えよ.
(1) |AN → | , | AP→ | および AN →⋅ AP→ を求めよ.
(2) ▵ANP の面積 S を t を用いて表せ.
(3) S の最大値を求めよ.また,そのときの OP → を a→ , b→ を用いて表せ.
2001-10221-0203
【3】 右図のように, 2 つの放物線 y= -x2 +1 ,y =a⁢ x2 ( a>0 ) が 2 点 P ,Q で交わり,点 P における接線が互いに直交しているものとする.また,点 P ,Q における y= -x2 +1 の接線の交点を R とする.次の問いに答えよ.
(1) a の値および交点 P の座標を求めよ.
(2) 放物線 y= -x2 +1 の点 P における接線の方程式を求めよ.
(3) 斜線で示す図形 PQR を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ.
2001-10221-0204
【4】 2 以上の自然数 n に対し,関数 fn ⁡(x ) を
fn⁡ (x)= 1-x- e-n ⁢x
と定義する.次の問いに答えよ.
(1) fn⁡ (x) の最大値とそのときの x を求めよ.
(2) 方程式 fn ⁡(x )=0 の解で正のものはただ 1 つであることを示せ.
(3) (2)の解を an とする. limn→ ∞ ⁡an =1 を示せ.
(4) limn→ ∞⁡ ∫0an ⁡ fn⁡( x)⁢d x を求めよ.