2001　千葉大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．このとき，$n^2$を$4$で割った余りは$0$または$1$であることを証明せよ．

(2)　$3$つの自然数$a\text{，}b\text{，}c$が

$a^2+b^2=c^2$

を満たしている．このとき，$a\text{，}b$の少なくとも一方は偶数であることを証明せよ．

【２】　実数$a$に対して

$f(x)=a{x}^2-2ax+a^2+1$

とおく．

(1)　定積分

$I(a)={\displaystyle {\int }_1^2}f(x)dx$

を$a$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$が条件$f(1)\leqq 1$を満たすような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)の範囲を動くとき，$I(a)$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を整数とする．$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+2bx$が，$0<x<2$の範囲で極大値と極小値をもつとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【４】　$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）に対して，実数$f(A)$を$f(A)=a+d$と定義する．これについて性質

$f(A\pm B)=fA)\pm f(B)$（複号同順）

は証明なしで使ってよい．

(1)　$2$次正方行列$A\text{，}B$に対して，$f(AB)=f(BA)$を証明せよ．

(2)　$2$次正方行列$P\text{，}Q$が$P=PQ-QP$を満たしているものとする．このとき，$f(P)=0$を証明せよ．

(3)　(2)の$P$に対して，$f(P^2)=0$を証明せよ．

(4)　(2)の$P$に対して，$P^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を証明せよ．

【５】　$C$は，$2$次関数$y=x^2$のグラフを平行移動した放物線で，頂点が円$x^2+{(y-2)}^2=1$上にある．原点から$C$に引いた接線で傾きが正のものを$l$とおく．このとき，$C$と$l$の接点の座標が最大および最小になるときの$C$の頂点の座標をそれぞれ求めよ．

【６】　$a\text{，}b$を実数，$e$を自然対数の底とする．すべての実数$x$に対して$e^x\geqq ax+b$が成立するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　次の定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}(e^x-ax-b)dx$

の最小値と，そのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【７】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$を次のように定義する．

$a_n=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$n$に対して

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{2}{a_n}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　次の無限級数の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^n}\tan \frac{\pi }{2^{n+1}}}$

【８】　$30$の階乗$30!$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$2^k$が$30!$を割り切るような最大の自然数$k$を求めよ．

(2)　$30!$の一の位は$0$である．ここから始めて十の位，百の位と順に左に見ていく．最初に$0$でない数字が現れるまでに，連続していくつの$0$が並ぶかを答えよ．

(3)　(2)において，最初に現れる$0$でない数字は何であるかを理由とともに答えよ．

【９】　$i$を虚数単位とし，複素数$z$に共役な複素数を$\bar{z}$で表す．

(1)　$a$を実数の定数とする．条件

$1-\bar{z}=(a+i)(z-\bar{z})$

を満たす複素数平面上の点$z$の全体が直線であるとき，$a$の値を求めよ．

(2)　実軸上にない複素数$\alpha$に対して，$3$点$0\text{，}1\text{，}\alpha$を通る複素数平面上の円の中心を$\beta$とする．このとき，$\beta$を$\alpha$と$\bar{\alpha }$を用いて表せ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$を(2)の複素数とする．点$\alpha$が(1)の直線上を動くとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$は一定であることを証明せよ．

【10】　正の整数$x$と$y$が与えられたとき，以下の手順による計算を行う．

• 1.　$\mathrm{n}\leftarrow x\text{，}\mathrm{m}\leftarrow y\text{，}\mathrm{q}\leftarrow 0$
• 2.　$\mathrm{m}>0$かつ$\mathrm{q}\leqq 2$を満たしている限り，次の計算を繰り返し実行する．ただし，$\mathrm{n}$を$\mathrm{m}$で割った商を$\mathrm{n}div\mathrm{m}\text{，}$余りを$\mathrm{n}mod\mathrm{m}$で表す．
  • 2-1.　$\mathrm{Q}\leftarrow \mathrm{n}div\mathrm{m}\text{，}\mathrm{r}\leftarrow \mathrm{n}mod\mathrm{m}$
  • 2-2.　$\mathrm{n}\leftarrow \mathrm{m}\text{，}\mathrm{m}\leftarrow \mathrm{r}$
• 3.　$\mathrm{q}>2$ならば$0$を，そうでなければ$\mathrm{n}$の値を出力する．

　この手順に関して，以下の問いに答えよ．

(1)　$x$を$95\text{，}y$を$35$としたとき，手順 2 の各繰り返しにおいて 2-1 を実行する直前での変数$\mathrm{n}\text{，}\mathrm{m}\text{，}\mathrm{q}$の値の変化を示す表を作成し，手順 3 で出力される数を示せ．

(2)　変数$\mathrm{n}\text{，}\mathrm{m}$の値をそれぞれ$x_2\text{，}{x}_1$とし，その状態で 2-1 と 2-2 を続けて実行したところ，変数$\mathrm{m}\text{，}\mathrm{q}$の値がそれぞれ$x_0\text{，}z$になったとする．このとき，$x_2$を$x_1\text{，}{x}_0\text{，}z$を使って表せ．

(3)　$x$と$y$の両方が$200$以上でかつ出力が$7$になるような$x$と$y$を$1$組あげ，その組について(1)と同様の表を作成せよ．

【11】　$2$つの野球チーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が繰り返し試合を行う．各試合において，$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$q=1-p$とする．ただし$0<p<1$とする．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$どちらかが$4$勝するまでに行う試合数を表す確率変数を$X$とする．$X$の確率分布を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$より先に$\mathrm{A}$が$n$勝する確率を$P(n)$とする．$P(3)$と$P(4)$の大小を比較せよ．

志望別問題選択一覧

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科，法経学部　【１】，【２】，【３】必須，【９】，【10】から１題選択

　園芸学部　【１】，【２】，【３】必須，【９】，【10】，【11】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科，工学部Aコース　都市環境システム学科，デザイン工学科

　　【１】，【２】，【３】，【４】必須，【９】，【10】，【11】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科，医学部，薬学部，

　工学部Aコース　電子機械工学科，情報画像学科，物質工学科

　　【３】，【４】，【５】，【６】必須，【９】，【10】，【11】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】必須，【９】，【10】，【11】から１題選択