2001　千葉大学　前期　数学III・数学CMathJax

【１】　関数

$f(x)=2{\sin }^{4}x-4\sqrt{3}{\sin }^{3}x-3\cos 2x$

について次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減を調べ，極大値，極小値を求めよ．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$の範囲で$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

【２】　曲線$y=\log x$と$x$軸と，直線$x=e$で囲まれた図形を$F$とする．$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_1\text{，}F$を直線$x=e$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．このとき次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底，$\log x$は自然対数とする．

(1)　$V_1$と$V_2$を求めよ．

(2)　$V_1$と$V_2$の大小を比べよ．

【３】　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$とおく．

(1)　行列${\displaystyle \frac{2}{3}}E-{\displaystyle \frac{1}{2}}J$を求めよ．

(2)　(1)で求めた行列を$A$とする．行列$B$を$A+B={\displaystyle \frac{7}{6}}E+{\displaystyle \frac{1}{2}}J$をみたすように定める．このとき$AB$を$aE+bJ$の形で表せ．

(3)　${(AB-{\displaystyle \frac{5}{12}}J)}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおくとき行列$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n& {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{b}_n\\ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n& {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{d}_n\end{array}\right)$を求めよ．

【４】　ニュートン法により$\sqrt{3}$の近似値を求めるために，下の条件によって数列

$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}\cdots$

を定める．

条件$\{\begin{array}{l}\text{自然数}n\text{に対し，}2\text{次曲線}y=x^2-3\text{の上の}\\ \text{点}(x_n,{x_n}^2-3)\text{においてこの曲線に引いた接線}\\ \text{は}x\text{軸と点}(x_{n+1},0)\text{で交わる．}\end{array}$

　このとき，$x_1=2$として，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対し

$x_{n+1}-\sqrt{3}={\displaystyle \frac{x_n-\sqrt{3}}{2x_n}}\cdot (x_n-\sqrt{3})$

が成り立つことを説明せよ．

(2)　$2$以上のすべての自然数$n$に対し，

$\sqrt{3}<x_{n+1}<x_n<2$

が成り立つことを説明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\sqrt{3}$を証明せよ．