2001　東京大学　前期MathJax

【１】　半径$r$の球面上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がある．四面体$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さは，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=2$を満たしている．このとき$r$の値を求めよ．

【２】　時刻$0$に原点を出発した$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が$xy$平面上を動く．点$\mathrm{A}$の時刻$t$での座標は$(t^2,0)$で与えられる．点$\mathrm{B}$は，最初は$y$軸上を$y$座標が増加する方向に一定の速さ$1$で動くが，点$\mathrm{C}(0,3)$に到達した後は，その点から$x$軸に平行な直線上を$x$座標が増加する方向に同じ速さ$1$で動く．

　$t>0$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S(t)$とおく．

(1)　関数

$S(t)\text{（}t>0\text{）}$

のグラフの概形を描け．

(2)　$u$を正の実数とするとき，$0<t\leqq u$における$S(t)$の最大値を$M(u)$とおく．関数

$M(u)\text{（}u>0\text{）}$

のグラフの概形を描け．

【３】　コインを投げる試行の結果によって，数直線上のある$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を次のように動かす．

• 表が出た場合：点$\mathrm{A}$の座標が点$\mathrm{B}$の座標より大きいときは，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を共に正の方向に$1$動かす．そうでないときは，$\mathrm{A}$のみ正の方向に$1$動かす．
• 裏が出た場合：点$\mathrm{B}$の座標が点$\mathrm{A}$の座標より大きいときは，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を共に正の方向に$1$動かす．そうでないときは，$\mathrm{B}$のみ正の方向に$1$動かす．

　最初$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は原点にあるものとし，上記の試行を$n$回繰り返して$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を動かしていった結果，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の到達した点の座標をそれぞれ$a\text{，}b$とする．

(1)　$n$回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数$2^n$通りのうち，$a=b$となる場合の数を$X_n$とおく．$X_{n+1}$と$X_n$の間の関係式を求めよ．

(2)　$X_n$を求めよ．

【４】　白石$180$個と黒石$181$個の合わせて$361$個の$\stackrel{\text{ご}}{\text{碁}}$石が横に一列に並んでいる．碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ．

　その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる．ただし，碁石が一つも残らない場合も同数とみなす．

【２】　次の等式を満たす関数$f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$がただ一つ定まるための実数$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，そのときの$f(x)$を決定せよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\sin (x+y)f(y)dy+{\displaystyle \frac{b}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\cos (x-y)f(y)dy+\sin x+\cos x$

　ただし，$f(x)$は区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で連続な関数とする．

【３】　実数$t>1$に対し，$xy$平面上の点

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(1,1)\text{，}\mathrm{Q}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$

を頂点とする三角形の面積を$a(t)$とし，線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$と双曲線$xy=1$とで囲まれた部分の面積を$b(t)$とする．このとき

$c(t)={\displaystyle \frac{b(t)}{a(t)}}$

とおくと，関数$c(t)$は$t>1$においてつねに減少することを示せ．

【４】　複素数平面上の点$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$を

$\{\begin{array}{cc}{a}_1=1\text{，}{a}_2=i\text{，}& \\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

により定め

$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$3$点$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3$を通る円$C$の中心と半径を求めよ．

(2)　すべての点$b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は円$C$の周上にあることを示せ．

【５】　容量$1$リットルの$m$個のビーカー（ガラス容器）に水が入っている．$m\geqq 4$で$\stackrel{\text{から}}{\text{空}}$のビーカーは無い．入っている水の総量は$1$リットルである．また$x$リットルの水が入っているビーカーがただ一つあり，その他のビーカーには$x$リットル未満の水しか入っていない．

　このとき，水の入っているビーカーが$2$個になるまで，次の(a)から(c)までの操作を，順に繰り返し行う．

• (a)　入っている水の量が最も少ないビーカーを一つ選ぶ．
• (b)　さらに，残りのビーカーの中から，入っている水の量が最も少ないものを一つ選ぶ．
• (c)　次に，(a)で選んだビーカーの水を(b)で選んだビーカーにすべて移し，空になったビーカーを取り除く．

　この操作の過程で，入っている水の量が最も少ないビーカーの選び方が一通りに決まらないときは，そのうちのいずれも選ばれる可能性があるものとする．

(1)　$x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，最初に$x$リットルの水の入っていたビーカーは，操作の途中で空になって取り除かれるか，または最後まで残って水の量が増えていることを証明せよ．

(2)　$x>{\displaystyle \frac{2}{5}}$のとき，最初に$x$リットルの水の入っていたビーカーは，最後まで$x$リットルの水が入ったままで残ることを証明せよ．

【６】　コインを投げる試行の結果によって，数直線上のある$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を次のように動かす．

• 表が出た場合：点$\mathrm{A}$の座標が点$\mathrm{B}$の座標より大きいときは，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を共に正の方向に$1$動かす．そうでないときは，$\mathrm{A}$のみ正の方向に$1$動かす．
• 裏が出た場合：点$\mathrm{B}$の座標が点$\mathrm{A}$の座標より大きいときは，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を共に正の方向に$1$動かす．そうでないときは，$\mathrm{B}$のみ正の方向に$1$動かす．

　最初$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は原点にあるものとし，上記の試行を$n$回繰り返して$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$を動かしていった結果，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の到達した点の座標をそれぞれ$a\text{，}b$とする．

(1)　$n$回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数$2^n$通りのうち，$a=b$となる場合の数を$X_n$とおく．$X_{n+1}$と$X_n$の間の関係式を求めよ．

(2)　$X_n$を求めよ．

(3)　$n$回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数$2^n$通りについての$a$の値の平均を求めよ．