2001　東京工業大学　後期小論文第４類MathJax

【１】　古代エジプトの数学者は$0$から$1$までの間の有理数を表すのに分母の異なる単位分数（分子が$1$の分数）の和${\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_k}}$によって表した．ただし，$k\geqq 1$であり，$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_k$は互いに異なる自然数である．例えば，彼らは

${\displaystyle \frac{2}{5}}$を${\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{15}}$

${\displaystyle \frac{2}{7}}$を${\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{28}}$

と表した．

問１　${\displaystyle \frac{2}{9}}$を分母の異なる$2$個の単位分数の和で表せ．

問２　$n$を$3$以上の奇数とするとき，${\displaystyle \frac{2}{n}}$を分母の異なる$2$個の単位分数の和で表す方法を述べよ．

問３　記号$\lceil x\rceil$は$x$以上の最小の整数を表すものとする．$m$と$n$を自然数とするとき，$0<{\displaystyle \frac{m}{n}}<1$を満足する分数${\displaystyle \frac{m}{n}}$について，$p=\lceil {\displaystyle \frac{n}{m}}\rceil$とし，

${\displaystyle \frac{m}{n}}={\displaystyle \frac{1}{q}+\frac{m^{\prime }}{n^{\prime }}}$

と表したとき，$m\text{，}n\text{，}q$を用いて$m^{\prime }$と$n^{\prime }$をそれぞれ表せ．また，$m$と$m^{\prime }$の間の大小関係，$2n$と$n^{\prime }$の間の大小関係，および$q$と$\lceil {\displaystyle \frac{n^{\prime }}{m^{\prime }}}\rceil$の間の大小関係を求めよ．

問４　問３の結果を用いて，${\displaystyle \frac{3}{7}}$と${\displaystyle \frac{3}{17}}$を分母の異なる単位分数の和でそれぞれ表せ．

問５　$m$と$n$を自然数とするとき，$0<{\displaystyle \frac{m}{n}}<1$を満足する分数${\displaystyle \frac{m}{n}}$を分母の異なる単位分数の和で表す方法を述べよ．また，その方法が次の$2$条件を満足していることを証明せよ．

(1)　必ず有限回の繰り返しで終了すること．

(2)　得られる単位分数の分母がすべて異なること．