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2001-10270-0101
2001 お茶の水女子大学 前期共通
文教育,生活科,理学部
易□ 並□ 難□
【1】(1) 数列 u0 , u1 ,u2 , ⋯ が
un+ 2-3 ⁢un +1+ 2⁢un =0( n=0 ,1 ,2 ,⋯ )(ⅰ)
をみたしている.このとき
an= un+ 1-2⁢ un
とおいて, an を, u0 と u1 を用いて表せ.また
bn= un+ 1- un
とおいて, bn を, u0 と u1 を用いて表せ.
(2) 今(ⅰ)の数列 u0 , u1 ,u2 , ⋯ のどの un も 0 にならないとする.このとき
wn= u n+1 un
は,
wn+ 1⁢ wn=3 ⁢wn -2 (n =0 ,1 ,2 ,⋯ ) (ⅱ)
をみたすことを示せ.
(3) (1)(2)の結果を使って,(ⅱ)をみたし w0 =3 となる wn を求めよ.
2001-10270-0102
文教育,生活科学部
【2】 3 次多項式 f⁡ (x)= x3+ a⁢x2 +b⁢ x+1 と 2 次多項式 g⁡ (x) =x2 +c⁢x +1 があり,方程式 g⁡ (x)= 0 の解はすべて方程式 f⁡ (x)= 0 の解であるという条件が成り立っている.
(1) g⁡(x )=0 が重解を持つ場合の c の値を求めよ.
(2) g⁡(x )=0 が重解を持たない時, f⁡(x ) は g⁡ (x) で割り切れることを示し,さらに x= -1 は f⁡ (x)= 0 の解であることを示せ.
(3) a≠b であるならば, g⁡(x )=0 が重解を持つことを示し,さらに c= -2 であることを示せ.
2001-10270-0103
【3】 放物線 P1 :y= x2 と P2 :y=- (x- t)2 +t+1 ( t は実数)について以下の問に答えよ.
(1) P1 と P2 が相異なる 2 点で交わるような t の範囲を求めよ.
(2) t が(1)で求めた範囲にあるとき, P1 と P2 で囲まれた領域の面積を t の式で表せ.
(3) t が(1)で求めた範囲にあるとき,(2)の面積の最大値を求めよ.
2001-10270-0104
理学部数学共通
【2】 (0,0 ,1) ,(1, 0,1) ,(1, 1,1) ,(0, 1,1) ,(0, 0,0) ,(1 ,0,0 ), (1,1, 0), (0,1 ,0) を頂点に持つ立方体を考える.
(1) 0<k< 3 とする.平面 x+ y+z= k による立方体の断面は何角形になるか k の値に応じて述べよ.
(2) 1<k< 2 のとき,(1)の多角形の各辺の長さを求めよ.
(3) 1<k< 2 のとき,(1)の多角形の面積 S⁡ (k) を k の関数として求め,そのグラフを描け.
(4) 1<k< 2 のとき, S⁡(k ) の最大値はいくらか.
(5) 1<k< 2 で S⁡ (k) が最大値をとるときの断面はどのような図形となるか.
2001-10270-0105
【3】 a>0 とし, f⁡(x )=a⁢ x2 とする.放物線 y= f⁡(x ) 上の定点 O (0, f⁡(0) ), A(- 1,f⁡ (-1)) ,B (-2 ,f⁡( -2)) ,C (4,f ⁡(4) ) と動点 P (p, f⁡(p )) を考える. p>- 1 とする. A における接線と P における接線の交点を Q とする.
(1) ▵BOC の面積を求めよ.
(2) Q の座標を求めよ.
(3) ▵BOC の面積と ▵AQP の面積が一致するときの p の値を求めよ.