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2001 お茶の水女子大学 前期理学部選択

理(物理学科,情報科学科)学部-数学B

易□ 並□ 難□

【1】 次の小問に答えよ.(1),(2),(3)は独立しているので,どの順に解いてもよい.(4)は(1),(2),(3)の結果を使ってもよい.

(1)  0<bi <1 i =1 2 n をみたす b 1 b 2 bn に対して不等式

(1-b 1) (1-b 2) (1 -bn )1- i= 1n bi

が成り立つことを示せ.

(2)  0<θ< π 2 に対して

cosθ> 1- θ22

が成り立つことを示せ.

(3) 半径 r の円に内接する正 2n 角形を描いて,さらにこの正 2n 角形に内接する円を描いた時,この内接円の半径を求めよ.

(4)  O を中心とする半径 1 の円 B1 に内接する正 4 角形 A1 を描く.次に正 4 角形 A1 に内接する円 B2 を描き,さらに円 B2 に内接する正 23 角形 A2 を描く.以下

を描くという操作を順次繰り返す. n をいくら大きくしても,円 Bn および正 2 n+1 角形 An は, O を中心とする一定の円内には入ってこないことを示せ.

2001 お茶の水女子大学 前期理学部選択

理(物理学科,情報科学科)学部-数学B

易□ 並□ 難□

【2】  xyz 空間内において不等式

0z log(- x2- y2+ 3) -x2 -y2+ 3>0

で定まる立体 D を考える.

(1)  D はどの座標軸のまわりの回転体か,その座標軸を答えよ.

(2) この D xz 平面で切った時の断面は,どのような曲線(ならびに直線)で囲まれた図形か,その曲線を求め,図形の概形も描け.曲線の凹凸を調べることまではしなくてもよいが,座標軸との交点の座標は明示せよ.

(3)  D の体積を求めよ.

2001 お茶の水女子大学 前期理学部選択

理(情報科学科)学部-数学専門A2

易□ 並□ 難□

【1】 次の値の十進数での下位 5 桁を求めよ.

(1)  101100 (2)  99100 (3)  32001

2001 お茶の水女子大学 前期理学部選択

理(情報科学科)学部-数学専門A2

易□ 並□ 難□

【2】 原点を通り傾き m の直線 l を考える.

(1) 点 P ( a,b ) を通り x 軸に垂直な直線と l との交点を P とし,点 P と異なる点 Q ( c,d ) を通り x 軸に垂直な直線と l との交点を Q とする.このとき,

d1= P P 2+ Q Q 2

が最小となる m の値を求めよ.

(2)  2 P ( 1,1 ) Q ( 3,1 ) から直線 l に下ろした垂線をそれぞれ, PA QB とする.このとき,

(a)  d2= PA2+ QB2 が最小となる m の値を求めよ.

(b)  d3= PA+QB が最小となる m の値を求めよ.

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