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2001 一橋大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  a b を整数とする. 3 次方程式 x3 +a x2 +bx -1=0 3 実解 α β γ を持ち, 0<α <β< γ<3 で, α β γ のうちどれかは整数である. a b を求めよ.

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【2】 放物線 y= x2 上に,直線 y= ax+ 1 に関して対称な位置にある異なる 2 P Q が存在するような a の範囲を求めよ.

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【3】 四面体 OAPQ において, | OA |= 1 OA OP OP OQ OA OQ で, PAQ= 30° である.

(1)  APQ の面積 S を求めよ.

(2)  |OP | のとりうる範囲を求めよ.

(3) 四面体 OAPQ の体積 V の最大値を求めよ.

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【4】 複素数 z= r(cos θ+i sinθ ) は,条件

2 4 r 52 0 °θ 90°

をみたす.

(1)  f(z )=| z+z2 | の最大値と最小値,およびそれらを与える複素数 z を求めよ.

(2)  g(z )=| 2z+ z3 | の最大値と最小値,およびそれらを与える複素数 z を求めよ.

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【5】  1 から n までの数字を 1 つずつ書いた n 枚のカードがある.ただし, n2 とする.

(1) この n 枚のカードから一度に 2 枚選び,大きい方の数字を X とする. X の期待値 E1 を求めよ.

(2) この n 枚のカードから 1 枚選び,その数字を X1 とする.そのカードをもとに戻し,改めて 1 枚選び,その数字を X2 とする. X1 X2 の小さくない方の数字を Y とする. Y の期待値 E2 を求めよ.

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