2001　一橋大学　後期MathJax

【１】　$m$を正の整数とする．$m^3+3m^2+2m+6$はある正の整数の$3$乗である．$m$を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とし，$f(x)=a(2x-x^2)$とする．放物線$y=f(x)$上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,-3a)\text{，}\mathrm{P}(x,f(x))$がある．$1<x<2$の範囲で$\angle \mathrm{OPA}$が常に鈍角であるような$a$の範囲を求めよ．

【３】　複素数の数列$\left\{z_n\right\}$が次の条件で定められている．

$z_1=0\text{，}{z}_2=1\text{，}{z}_{n+2}=(2+i)z_{n+1}-(1+i)z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$\alpha =1+i$とする．$z_n$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$|z_n|\leqq 4$であるような最大の$n$を求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$5$である正方形$\mathrm{ABCD}$から，それぞれ$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$を底辺とする合同な$4$個の二等辺三角形$\mathrm{EAB}\text{，}\mathrm{FBC}\text{，}\mathrm{GCD}\text{，}\mathrm{HDA}$を取り除く．できた図形を頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一の点に重なるように$\mathrm{HE}\text{，}\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FG}\text{，}\mathrm{GH}$で折り曲げて，正四角すいを作る．この正四角すいの高さを$h$とし，底面の対角線の長さの半分を$x$とする．

(1)　$h$を$x$を用いて表せ．

(2)　この正四角すいの体積の最大値は${\displaystyle \frac{4\sqrt{10}}{3}}$であることを示せ．また，そのときの$x$を求めよ．

【５】　$1$枚の硬貨を$n$回投げる．ただし，$n\geqq 3$とする．$i=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$に対し，$i-1$回めに表が出て$i$回めに裏が出たとき，または$i-1$回めに裏が出て$i$回めに表が出たとき，$i$回めに転換が起こったという．

(1)　転換が全く起こらない確率$p_0$と，転換が$1$回だけ起こる確率$p_1$を求めよ．

(2)　$2\leqq k\leqq n-1$とする．転換がちょうど$k$回起こる確率$p_k$を求めよ．