2001　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　曲線$C_1:y=a{x}^2\text{（}a>0\text{）}$と曲線$C_2:y=|x(x-1)|$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とし，$x$の$3$次方程式

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

は次の$2$つの条件を満たすとする．

(ⅰ)　$1$つの正の実数解と$2$つの虚数解をもつ．

(ⅱ)　解の絶対値はすべて$1$である．

　このとき，整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

【３】　$a$は$0<a<10$を満たす定数とする．$xy$平面上に，関数

$y=\{\begin{array}{ll}7-{\displaystyle \frac{x}{2}}& \text{（}a<x<10\text{）}\\ 12-x& \text{（}10\leqq x<12\text{）}\end{array}$

のグラフがある．点$(x,y)$がこのグラフ上を動くとき，$(x,y)\text{，}(a,y)\text{，}(a,0)\text{，}(x,0)$を頂点とする長方形の面積が最大となるときの$x$を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，$\sqrt{n}$に最も近い整数を$a_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　$a_7\text{，}{a}_{50}$を求めよ．

(2)　$a_n=100$となる自然数$n$の個数を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{2001}}{a}_k$の値を求めよ．

【１】　関数

$f\left(\theta \right)=(\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})(\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }})$

と

$g\left(\theta \right)=(\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }})(\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})$

がある．$\theta$が$0°<\theta <90°$の範囲を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$と$g(\theta )$の大小を比較せよ．

(2)　$|f(\theta )-g(\theta )|<2$となる$\theta$の範囲を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{f(\theta )}{g(\theta )}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{（}t>0\text{）}$における$C$の接線と直交し$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とする．$C$と$l$で囲まれる部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を$t$の式で表せ．

(3)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=0$と関係式

$a_{n+1}=(n+1)a_n-{(-1)}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．さらに数列$\{b_n\}$を

$b_n=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{n}C_k{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$をそれぞれ求めよ．

(2)　$b_n$が$n$のどのような式で表されるかを推測せよ．

(3)　(2)における推測が正しいことを証明せよ．

【４】　$a$を実数とする．$x$の方程式

$x^3-3x=a^3-3a$

が異なる$3$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x^3-3x$のグラフを図示せよ．

(2)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$|\alpha |+|\beta |+|\gamma |$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$x\geqq \mathrm{}$のとき，不等式

$\log (1+x)\geqq {\displaystyle \frac{x}{1+x}}$

が成り立つことを証明せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{dx}{x\sqrt{1+x^3}}}$

を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$は実数とする．$x$の方程式

$|x^2+ax+b|=|x^2+bx+a|$

の異なる実数解の個数を$n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=1$となる点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(2)　$n=2$であるとき，この方程式の実数解を求めよ．

【３】　平面上に円$C:x^2+y^2=1$がある．点$\mathrm{P}(0,-k)$を通り，$x$軸の正の向きとのなす角が$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$である直線と$C$との交点を$X\text{，}\mathrm{Y}$とする．ただし，$k$は$0<k<1$を満たす定数である．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{XY}$の長さを求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$を除いた$C$上を点$\mathrm{Z}$が動くときの$▵\mathrm{XYZ}$の面積を$S$とする．$S$を求めよ．

(3)　$\theta$を動かすとき，(2)で求めた$S$が最大となるときの$\cos \theta$を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_2=1$

$a_n{a}_{n+2}-{a_{n+1}}^2={(-1)}^{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定まる．次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$m$を自然数とするとき，$a_{6m}$は$8$の倍数であることを示せ．

【５】　曲線$x^3-3xy+y^3=0$の極方程式を$r=f(\theta )$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(\theta )$を求めよ．

(2)　$\underset{\theta \to \frac{3}{4}\pi +0}{\lim }f(\theta )\sin (\theta -{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi )$を求めよ．

(3)　$\tan \theta =t$とおき，置換積分法を使って${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\{f(\theta )\}}^{2}d\theta$を求めよ．