2001　金沢大学　前期MathJax

【１】　平面上に，同一直線上にない$3$定点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$の長さはそれぞれ$9\text{，}4$である．動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同時に$\mathrm{O}$を出発し，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上を秒速$3$で，$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上を秒速$2$でそれぞれ往復運動をくり返しているとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　出発してから初めて$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$で出会うのは何秒後か．

(2)　出発してから$5$秒後の$\mathrm{PQ}$の長さは$4$であった．$\angle \mathrm{AOB}$の余弦と正弦の値を求めよ．

(3)　出発してから$t$秒後の$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$の長さをそれぞれ$x\text{，}y$とする．点$(x,y)$の軌跡を$0\leqq t\leqq 6$の範囲で$xy$平面上に図示せよ．

【２】　方程式$z^6+1=0$を満たす$6$個の複素数を，偏角$\theta \text{（}0°\leqq \theta <360°\text{）}$の小さい順に${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}\cdots \text{，}{\alpha }_6$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2\text{，}\cdots \text{，}{\alpha }_6$を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2)　${\alpha }_k{\alpha }_l={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$となる$(k,l)$を求めよ．

(3)　複素数$z\ne 0$に対し，サイコロを振って出た目が$k$ならば${\alpha }_k$をかけるという操作を行う．こうして得られた複素数に対し，再びサイコロを振り同じ操作を行って得られる複素数を$w$とする．複素数$0\text{，}z\text{，}w$の表す$3$点が正三角形をなす確率を求めよ．

【３】　$2$つの$2$次関数$y=-x^2+1$と$y=q{x}^2+px+2$が$0<x<1$の範囲で共有点をもち，かつその点で共通の接線をもつとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　上の条件を満たすような点$(p,q)$を$pq$平面上に図示せよ．

(2)　共有点の$x$座標を$\alpha \text{（}0<\alpha <1\text{）}$とし，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}q{x}^2+px+2& \text{（}0\leqq x<\alpha \text{）}\\ -x^2+1& \text{（}\alpha \leqq x\leqq 1\text{）}\end{array}$

とおく．このとき積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を$p$で表せ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& -5\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^4$を求めよ．

(2)　$A^3+2A^2+4A+8E$を求めよ．

(3)　$E+{\displaystyle \frac{1}{2}}A+{({\displaystyle \frac{1}{2}}A)}^2+\cdots +{({\displaystyle \frac{1}{2}}A)}^{2001}$を求めよ．

【２】　整式$f(x)$は関係式${\displaystyle {\int }_0^x}f(x)dx=x^3-3x^2-9x+2{\displaystyle {\int }_x^0}f(x)dx$を満たしている．また$r\geqq 0$に対し，$\left|x\right|\leqq r$における$|f(x)|$の最大値を$F(r)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求め，$y=|f(x)|$のグラフをかけ．

(2)　$F(r)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}F(r)dr$を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．数$w$は，

$w=2^i+2^j+2^k\text{（}i\text{，}j\text{，}k$は自然数で$1\leqq i\leqq j\leqq k\leqq n$）

の形に表されるものとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$n=7$とする．$w$の値が$2^8\text{，}{2}^6+2^4$となるそれぞれの場合について，$(i,j,k)$をすべて求めよ．

(2)　$n$を一般の自然数とする．$2^r+2^s$（$r\text{，}s$は自然数で$r<s$）の形で表される$w$の値は全部で何個あるか．

(3)　一般の自然数$n$に対し，$w$の値は全部で何個あるか．

【４】　$2$次関数$y=f(x)$は$2$点$(0,0)\text{，}(p,0)$を通り（$p>0$），曲線$y=e^x$上に頂点をもつとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の$x^2$の係数を$p$で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形を$F_1$とする．また曲線$y=e^x$と$x$軸，および$2$直線$x=0\text{，}x=p$で囲まれた図形を$F_2$とする．さらに$F_1\text{，}{F}_2$を$x$軸の回りに$1$回転してできる回転体の体積をそれぞれ$V_1\text{，}{V}_2$とする．このとき，$V_1\text{，}{V}_2$の値を，$p$を用いて表せ．

(3)　$\underset{p\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}$を求めよ．