2001　信州大学　後期　理学部数学I,A,II,BMathJax

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2001　信州大学　後期　理学部数学I,A,II,B

易□　並□　難□

【１】　 $0 ° ≦ x ≦ 90 °$ とする．関数 $f (x) = p \cos^{2} x + 2 \sin x + q$ の最大値が $1 ，$ 最小値が $- 1$ のとき， $p ， q$ の値を求めよ．

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【２】　 $0 ≦ a ≦ 1$ とし，関数 $f (x) = x (1 - x) ， g (x) = a x$ を考える． $0 ≦ x ≦ 1$ において $f (x) ≦ y ≦ g (x)$ を満たす領域の面積が $g (x) ≦ y ≦ f (x)$ を満たす領域の面積の $\frac{1}{2}$ となるような $a$ の値を求めよ．

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【３】　 $r > 0$ とする．複素数平面において，点 $z$ が原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円周上を動くとき，点 $w = \frac{z + 1}{z - 1}$ の軌跡を $C_{r}$ とする．

(1)　軌跡 $C_{r}$ を求めよ．

(2)　 $a > 1$ とする． $r = a$ のときの軌跡 $C_{a}$ と， $r = \frac{1}{a}$ のときの軌跡 $C_{\frac{1}{a}}$ は，どんな関係にあるか．

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【４】

(ⅰ)　階段を上るのに，一度に $1$ 段から $3$ 段まで上ってよいことにする．このとき， $n$ 段の階段を上る方法の総数を $a_{n}$ とする．

(1)　 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ を求めよ．

(2)　 $n ≧ 4$ のとき， $a_{n} ， a_{n - 1} ， a_{n - 2} ， a_{n - 3}$ の間の関係式をつくれ．

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【４】

(ⅱ)　 $▵ ABC$ において， $AB = 2 ， AC = 3 ， ∠ A = 60 °$ とする．頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき， $\vec{AH}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表せ．