2001　名古屋大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=-|2x-1|+1\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を用いて，関数$g(x)=-|2f(x)-1|+1\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を考える．$0<c<1$のとき，$g(x)=c$を満たす$x$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数とし，$a>0$とする．

(1)　曲線$y=-a{x}^3+bx+c$の接線で点$(0,t)$（$t$は実数）を通るものがただ一本存在することを示せ．

(2)　(1)の接線が正の傾きを持つための$t$の範囲を求めよ．

【３】(a)　$a\text{，}b$を正定数とし，平面ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2a,a)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,2b)$を考える．線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{C}$とする．直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$上にない平面上の点$\mathrm{P}$に対し，点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{OB}$に平行な直線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{OA}$に平行な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．ただし，$s\text{，}t$は実数である．

(1)　$k$を正定数とするとき，$t={(s-k)}^2$を満たす点$\mathrm{P}$のなす曲線$F$の方程式を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AC}$が$F$と接するとき，$k$の値を求めよ．

【３】(b)　サイレンを断続的に鳴らして$16$秒の信号を作る．ただし，サイレンは$1$秒または$2$秒鳴り続けて$1$秒休み，これを繰り返す．また，信号はサイレンの音で始まり，サイレンの音で終わるものとする．

(1)　$1$秒または$2$秒鳴り続ける回数をそれぞれ$m$回，$n$回とするとき，$m\text{，}n$の満たす関係式を求めよ．

(2)　信号は何通りできるか．

【３】(a)　ある正の整数$p\text{，}q$に対し，

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+2}\\ a_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p+2& -2p\\ -2q& q+2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす正数の数列$\{a_n\}$が存在するものとする．このとき$p\text{，}q$を求めよ．

【１】　$e$を自然対数の底とする．$e\leqq p<q$のとき，不等式

$\log (\log q)-\log (\log p)<{\displaystyle \frac{q-p}{e}}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　閉区間$[0,2\pi ]$上で定義された$x$の関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sin (|t-x|+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})dt$の最大値および最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の外心（外接円の中心）$\mathrm{O}$が三角形の内部にあるとし，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は

$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たす正数であるとする．また，直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$がそれぞれ辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$と交わる点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}$を表せ．

(2)　$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の外心が$\mathrm{O}$に一致すれば$\alpha =\beta =\gamma$であることを示せ．

【４】(a)　$n$を$3$以上の自然数とする．有限複素数列$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$の各項はいずれも方程式$z^6=1$の解の一つであり，かつ，関係式$z_1+z_2+\cdots +z_n=0$を満たしているものとする．

(1)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$の中に$1$が含まれ，$-1$が含まれていないとすれば，$-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\text{，}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$はいずれも$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$の中に含まれることを示せ．

(2)　$n=6$のとき，(1)のような複素数列$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_6$のとり方の個数を求めよ．

【４】(b)　数直線上の原点$\mathrm{O}$から出発して，硬貨を投げながら駒を整数点上動かすゲームを考える．毎回硬貨を投げて表が出れば$+1\text{，}$裏が出れば$-1\text{，}$それぞれ駒を進めるとする．ただし，点$-1$または点$3$に付いたときは以後そこにとどまるものとする．

(1)　$k$回目に硬貨を投げたあと，駒が点$1$にある確率を求めよ．

(2)　$k$回目に硬貨を投げたあと，駒がある点${\mathrm{X}}_k$の期待値$E\left[{\mathrm{X}}_k\right]$を求めよ．