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2001-10481-0201
2001 名古屋大学 後期
情報文化学部社会システム情報学科
易□ 並□ 難□
【1】 すべての x に対して
(x+1 )⁢f⁡ (x+1 )-x⁢ f⁡(x )=f⁡ (x+2 )+2⁢ f⁡(x -1)
を満たす多項式 f⁡ (x) のうち最高次の係数が 1 であるものを求めよ.
2001-10481-0202
【2】 3 次方程式 x3 -5⁢ a⁢x2 +3⁢ a2⁢ x+a= 0 が正の実数解を持つための定数 a の範囲を求めよ.
2001-10481-0203
【3】(b)との選択
【3】(a) 数直円上を原点から出発し, 2 枚のコインを投げ出た枚数がそのときいる数より大きければ +1 , 小さければ -1 進み,同じならば動かないとする.
この操作を n 回繰り返したとき k にいる確率を P k⁡( n) とし,
Q⁡(n )= 35⁢ {P0 ⁡(n) +P2 ⁡(n)} -2 5⁢ P1⁡ (n)
とする.
(1) Q⁡(n ) を求めよ.
(2) limn→ ∞⁡ P1⁡ (n) を求めよ.
2001-10481-0204
【3】(a)との選択
【3】(b) 複素平面上で相異なる複素数 z1 , z2 ,z3 ,z 4 が同一円周上にあるとき
( z1- z3) ⁢( z2-z 4) (z2 -z3 )⁢( z1- z4)
は実数であることを証明せよ.
2001-10481-0205
工学部
【1】 A=( 3 2 12 12 32 ) とする.つぎの各問に答えよ.
(1) A⁢( s t )=k ⁢( st ) が成り立つような実数 k の値を 2 つ求めよ.ただし, ( st )≠ ( 00 ) とする.
(2) (1)で求めた k の値を k1 , k2 (k 1<k 2) とし, B=( k1 00 k2 ) とする.このとき, A=P -1 ⁢B⁢P を満たし,かつ, P′ ⁢P=E となる P= (a b cd ) (a >0, c>0 ) を求めよ.ただし, P=( ab cd ) に対して P ′=( a cb d ) であり, E=( 10 01 ) である.
以下では,(2)で求めた P を用いる.
(3) 実数 x ,y に対して, x′ , y′ を ( x′ y′ ) =P⁡( x y ) で定める.点 (x, y) が円 x 2+ (y-1 )2= 1 の上を動くとき,点 ( x′ ,y′ ) の軌跡を図示せよ.
(4) すべての実数 x ,y に対して Pn ⁡( x y) =( xy ) となる最小の自然数 n を求めよ.
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【2】 a1= 1, a2= 1, an+1 =an +an -1 ( n=2 ,3 ,4 , ⋯) で定まる数列 { an } に関して,次の各問に答えよ.
(1) ∑ n=2 ∞⁡ a na n-1 ⁢an +1 の値を求めよ.
(2) n=1 ,2 ,3 のそれぞれについて, a2⁢ n+2 =an +12 +2a n+1 ⁢an が成り立つことを確かめよ.さらに, a2⁢ n+1 を a n+1 , an で表す式を推測せよ.
(3) 自然数 n に関する 1 組の式
{ (2)で推測した式 a2⁢ n+2 =an +1 2+ 2⁢a n+1 ⁢an
がすべての自然数 n に対して成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
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【3】 a, b, c を実数の定数とし,関数
f0⁡ (x)= 1, f1⁡ (x)=x +a⁢f 0⁡( x), f2⁡ (x)= x2+b ⁢f1 ⁡(x)+ c⁢f0 ⁡(x)
を考える.相異なる i ,k に対して ∫ -11 ⁡fj ⁡(x)⁢ fk⁡ (x)⁢d x=0 が成り立つとき,つぎの各問に答えよ.
(1) 定数 a ,b ,c を求めよ.
(2) j=0 ,1 ,2 のそれぞれに対して ∫-1 1⁡ { fj⁡ (x) }2 ⁢dx の値を求めよ.
(3) j=0 ,1 ,2 のそれぞれに対して ∫-1 1⁢ fj⁡ (x)⁢ cos⁡(π ⁢x)⁢ dx の値を求めよ.
(4) つぎの I の値が最小となる実数 k0 , k1 ,k2 の値を求めよ.さらに, I の最小値を求めよ.
I= ∫-1 1⁡ { cos⁡( πx)- k0⁢ f0⁡ (x)- k1⁢ f1⁡ (x)- k2⁢ f2⁡ (x) }2 ⁢dx
2001-10481-0208
【4】 ハート,スベード,クラブ,ダイヤそれぞれ 13 枚からなる 52 枚のトランプカードがある.つぎの各問に答えよ.
(1) 52 枚のカードをよくきって, l 枚のカードを抜き出したとき,ハートが k 枚である確率を求めよ.
(2) n 枚のカードが与えられ,そのうち,ハートが m 枚であった.
(a) この n 枚のカードを無作為に 1 列に並べるとき, m 枚のハートが連続して並ぶ確率を求めよ.
(b) この n 枚のカ−ドを無作為に 1 列に並べるとき,どのハートの隣のカードもハート以外である確率を求めよ.