2001　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　$2$次の正方行列$A$は$x$と$y$を用いて

$A=\left(\begin{array}{cc}x+1& y+1\\ -y+1& x-1\end{array}\right)$

と表されているとする．以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列を表す．

(1)　$A^2=pA+qE$となる$p$と$q$をそれぞれ$x$と$y$を用いて表せ．

(2)　$A^2=E$となる$(x,y)$を求めよ．

(3)　$A^2=kA$となる実数の組$(x,y)$が存在するように$k$を定めたい．そのような実数$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$A^{-1}=kA$となる実数の組$(x,y)$が存在するように$k$を定めたい．そのような実数$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$は$z=\cos \theta +i\sin \theta$とする．

(1)　$F_1(z)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+z)$とするとき，$0<\theta <\pi$において$|F_1(z)|={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$\theta$を求めよ．

(2)　$F_2(z)={\displaystyle \frac{1}{4}}(1+z+z^2+z^3)$とするとき，$|F_2(z)|=|\cos \theta \sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}|$となることを証明せよ．

(3)　$0<\theta <\pi$における$|F_2(z\left)\right|$の極大値と，その極大値を与える$\cos \theta$を求めよ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲での$|F_2(z\left)\right|$のグラフを図示し，${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\cos \theta \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}|d\theta$を求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半円周$C:x^2+y^2=1\text{（}y>0\text{）}$の上に点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(1,0)$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．すなわち，$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|:|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|=t:1-t$である．ただし，$0<t<1$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{D}$が描く軌跡を$C^{\prime }$とする．

(1)　軌跡$C^{\prime }$の方程式を求め，軌跡$C^{\prime }$がどのような図形になるか答えよ．

(2)　$C^{\prime }$が$C$と交わるような$t$の値の範囲を求め，その交点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{E}$における$C^{\prime }$の接線が原点を通るような$t$の値を求めよ．

【４】　サイクロイド曲線$C:x(\theta )=\theta -\sin \theta \text{，}y(\theta )=1-\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$\mathrm{A}(x(\alpha ),y(\alpha ))\text{（}0<\alpha <2\pi \text{）}$における法線と$x$軸との交点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$\alpha$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$から$\pi$まで動くとき，線分$\mathrm{AB}$が存在する領域の面積を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人が「どちらかが，あいこをはさまず，二度続けて勝ったときに試合は終了する」のルールでじゃんけんの試合をする．このとき次の種々の確率を定義する．

$q_n$：$n$回目のじゃんけんで試合が終了する確率

$p_n$：$n$回目のじゃんけんが行われ，かつ試合が終了しない確率

$a_n$：$n$回目のじゃんけんで$\mathrm{A}$が勝ち，かつ試合が終了しない確率

$b_n$：$n$回目のじゃんけんで$\mathrm{B}$が勝ち，かつ試合が終了しない確率

$d_n$：$n$回目のじゃんけんがあいこで，試合が終了しない確率

ここで，$p_n=a_n+b_n+d_n$である．また$p_0=1$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，ぐう，ぱあ，ちょき，をそれぞれ独立に確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で出すものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{d}_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{d}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{d}_n$を用いて表せ．

(3)　$n\geqq 1$に対して，$q_n$を$p_n$と$p_{n-1}$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 1$に対して，$p_{n+1}$を$p_n$と$p_{n-1}$を用いて表せ．

(5)　$n\geqq 1$に対して，次式を導け．

$(n+2)q_{n+2}-{\displaystyle \frac{2}{3}}(n+1)q_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{9}}n{q}_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{q}_{n+1}+{\displaystyle \frac{2}{9}}{q}_n$

(6)　試合が終了するまでのジャンケンの回数の期待値$E$を問(5)に示した式を用いて求めよ．