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2001-10541-0101
2001 京都大学 前期
文系
配点30点
理系【2】の類題
易□ 並□ 難□
【1】 未知数 x に関する方程式
x4- x3+ x2- (a+2 )⁢x- a-3= 0
が,虚軸上の複素数を解に持つような実数 a をすべて求めよ.
2001-10541-0102
理系【4】の類題
【2】 xy 平面内の相異なる 4 点 P 1, P2 , P3 , P4 とベクトル v → に対し, k≠m のとき Pk Pm →⋅ v→ ≠0 が成り立っているとする.このとき, k と異なるすべての m に対し
Pk Pm →⋅ v→ <0
が成り立つような点 Pk が存在することを示せ.
2001-10541-0103
【3】 任意の整数 n に対し, n9- n3 は 9 で割り切れることを示せ.
2001-10541-0104
shaitan's blogさんの解答へ
【4】 n を 2 以上の整数とする.実数 a1 , a2 ,⋯ ,an に対し,
S=a1 +a2 +⋯+ an
とおく. k=1 ,2 ,⋯ ,n について,不等式 -1< S-ak <1 が成り立っているとする.
a1≦ a2≦ ⋯≦a n
のとき,すべての k について | ak | <2 が成り立つことを示せ.
2001-10541-0105
【5】 xy 平面内の -1≦ y≦1 で定められる領域 D と,中心が P で原点 O を通る円 C を考える. C が D に含まれるという条件のもとで, P が動きうる範囲を図示し,その面積を求めよ.
2001-10541-0106
理系
【1】 xy 平面上の曲線 C: y=x3 上の点 P における接線を, P を中心にして反時計回りに 45 ° 回転して得られる直線を L とする. C と L が,相異なる 3 点で交わるような P の範囲を図示せよ.
2001-10541-0107
文系【1】の類題
【2】 未知数 x に関する方程式
x5+ x4- x3+ x2- (a+1 )⁢x+ a=0
2001-10541-0108
配点35点
【3】 整数 n に対し f⁡ (n)= n ⁢(n- 1)2 とおき, an= if⁡ (n) と定める.ただし, i は虚数単位を表す.このとき,
an+ k= an
が任意の整数 n に対して成り立つような正の整数 k をすべて求めよ.
2001-10541-0109
文系【2】の類題
【4】 xyz 空間内の正八面体の頂点 P1 , P2 ,⋯ ,P6 とベクトル v→ に対し, k≠m のとき PkP m→ ⋅v →≠ 0 が成り立っているとする.このとき, k と異なるすべての m に対し
2001-10541-0110
配点40点
【5】 p を 2 以上の整数とする. 2 以上の整数 n に対し,次の条件(イ),(ロ)をみたす複素数の組 ( z1, z2, ⋯, zn ) の個数を an とする.
(イ) k=1 ,2 ,⋯ ,n に対し, z kp= 1 かつ, zk≠ 1,
(ロ) z1⁢ z2⁢ ⋯⁢z n=1 .
このとき,次の問いに答えよ.
(1) a3 を求めよ.
(2) an+ 2 を an , an+ 1 の一方または両方を用いて表せ.
(3) an を求めよ.
2001-10541-0111
【6】 次の極限値を求めよ.
limn→ ∞⁡ ∫ 0n⁢π ⁡ e-x ⁢| sin⁡n⁢ x| ⁢dx