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2001 京都大学 前期

文系

配点30点

理系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 未知数 x に関する方程式

x4- x3+ x2- (a+2 )x- a-3= 0

が,虚軸上の複素数を解に持つような実数 a をすべて求めよ.

2001 京都大学 前期

文系

配点30点

理系【4】の類題

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面内の相異なる 4 P 1 P2 P3 P4 とベクトル v に対し, km のとき Pk Pm v 0 が成り立っているとする.このとき, k と異なるすべての m に対し

Pk Pm v <0

が成り立つような点 Pk が存在することを示せ.

2001 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 任意の整数 n に対し, n9- n3 9 で割り切れることを示せ.

2001 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の整数とする.実数 a1 a2 an に対し,

S=a1 +a2 ++ an

とおく. k=1 2 n について,不等式 -1< S-ak <1 が成り立っているとする.

a1 a2 a n

のとき,すべての k について | ak | <2 が成り立つことを示せ.

2001 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面内の -1 y1 で定められる領域 D と,中心が P で原点 O を通る円 C を考える. C D に含まれるという条件のもとで, P が動きうる範囲を図示し,その面積を求めよ.

2001 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の曲線 C: y=x3 上の点 P における接線を, P を中心にして反時計回りに 45 ° 回転して得られる直線を L とする. C L が,相異なる 3 点で交わるような P の範囲を図示せよ.

2001 京都大学 前期

理系

配点30点

文系【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 未知数 x に関する方程式

x5+ x4- x3+ x2- (a+1 )x+ a=0

が,虚軸上の複素数を解に持つような実数 a をすべて求めよ.

2001 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】 整数 n に対し f (n)= n (n- 1)2 とおき, an= if (n) と定める.ただし, i は虚数単位を表す.このとき,

an+ k= an

が任意の整数 n に対して成り立つような正の整数 k をすべて求めよ.

2001 京都大学 前期

理系

配点30点

文系【2】の類題

易□ 並□ 難□

【4】  xyz 空間内の正八面体の頂点 P1 P2 P6 とベクトル v に対し, km のとき PkP m v 0 が成り立っているとする.このとき, k と異なるすべての m に対し

Pk Pm v <0

が成り立つような点 Pk が存在することを示せ.

2001 京都大学 前期

理系

配点40点

易□ 並□ 難□

【5】  p 2 以上の整数とする. 2 以上の整数 n に対し,次の条件(イ),(ロ)をみたす複素数の組 ( z1, z2, , zn ) の個数を an とする.

(イ)  k=1 2 n に対し, z kp= 1 かつ, zk 1

(ロ)  z1 z2 z n=1

このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a3 を求めよ.

(2)  an+ 2 an an+ 1 の一方または両方を用いて表せ.

(3)  an を求めよ.

2001 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】 次の極限値を求めよ.

limn 0nπ e-x | sinn x| dx

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